Четыре окружности радиусом х и квадрат вписаны в окружность радиусом 28, как показано на рисунке. Окружности радиуса х касаются квадрата в середине его сторон. В каком диапазоне может изменяться х?

Решение

Привет! Давай вместе разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти диапазон значений для радиуса маленьких окружностей (\(x\)), которые вписаны в большую окружность вместе с квадратом.

Шаг 1: Анализ рисунка и условия

Мы видим, что четыре маленькие окружности расположены по углам квадрата, вписанного в большую окружность. Радиус большой окружности равен 28.

Шаг 2: Связь между радиусом большой окружности и стороной квадрата

Диагональ квадрата равна диаметру большой окружности, то есть \(2 \cdot 28 = 56\). Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда по теореме Пифагора:

\[a^2 + a^2 = 56^2\] \[2a^2 = 56^2\] \[a^2 = \frac{56^2}{2}\] \[a = \frac{56}{\sqrt{2}} = 28\sqrt{2}\]

Шаг 3: Связь между стороной квадрата и радиусом маленьких окружностей

Из рисунка видно, что сторона квадрата равна сумме двух радиусов маленьких окружностей и расстоянию между ними, которое равно стороне квадрата минус два радиуса.

Рассмотрим вертикальную линию, соединяющую центры верхней и нижней окружностей. Эта линия проходит через центр квадрата и равна стороне квадрата. Тогда:

\[2x + 2x = a\sqrt{2}\]

Сторона квадрата равна \(a = 28\sqrt{2}\), но нам нужно найти выражение для стороны квадрата через радиус вписанной окружности. Заметим, что \(a = 2x\)

Шаг 4: Предельные случаи для x

Минимальное значение x:

Когда окружности становятся точками, то есть \(x \rightarrow 0\). Но это не имеет смысла в данной задаче, так как окружности должны касаться квадрата.

Максимальное значение x:

Когда окружности касаются друг друга и вписаны в большую окружность, радиус должен быть меньше половины стороны квадрата. Чтобы найти зависимость между радиусом маленькой окружности и радиусом большой окружности, рассмотрим диагональ квадрата. Диагональ квадрата равна \(56\) (диаметр большой окружности). Также, диагональ квадрата равна \(a\sqrt{2} \). Сторона квадрата связана с радиусом маленькой окружности.

Тогда \(2x + a\sqrt{2} +2x = 56\), где \(a = 28\sqrt{2}\)

Шаг 5: Нахождение диапазона для x

Имеем: \(2x + 28\sqrt{2}= 56\)

Упрощаем: \(x = 14\)

Дальше найдем максимально возможное значение х:

\(a = 28\sqrt{2}\)

\(2x = \frac{a}{\sqrt{2}}\)

\(x = \frac{28\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)

\(x = 14\)

То есть, \(0 < x \le 14\)

Ответ: Диапазон, в котором может изменяться \(x\), составляет от 0 до 14. То есть, \( 0 < x \le 14 \).

Ответ: (0;14]

Ты отлично справился с этой задачей! Не бойся сложных задач, и у тебя всё получится!