16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке F, BF=12, DF = 9, AВ = 8. Найдите CD.

Смотри, тут всё просто:

• По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд:

\[BF \cdot FC = AF \cdot FD\]

• По теореме о произведениях отрезков секущих:

\[BF \cdot BC = DF \cdot DA\]

Пусть CD = x. Тогда:

• BC = BF - CF, где CF = CD + DF = x + 9
• AD = AF - DF, где AF = AB + BF = 8 + 12 = 20

Тогда:

• BC = 12 - (x + 9) = 3 - x
• AD = 20 - 9 = 11

Подставим в уравнение:

\[12 \cdot (3 - x) = 9 \cdot 11\]

\[36 - 12x = 99\]

\[12x = 36 - 99\]

\[12x = -63\]

\[x = -\frac{63}{12} = -\frac{21}{4} = -5.25\]

Длина отрезка не может быть отрицательной.

Проверим правильность условия. Т.к. четырехугольник ABCD вписан в окружность, то суммы противоположных углов равны 180 градусам.

Т.к. прямые AD и BC пересекаются в точке F, то углы BFA и CFD равны.

Треугольники ABF и CDF подобны по двум углам (углы BFA и CFD равны, углы ABF и CDF опираются на одну дугу).

Тогда:\(\frac{AB}{CD}=\frac{BF}{DF}\) или \(\frac{8}{x}=\frac{12}{9}\)

Тогда: \(x=\frac{8 \cdot 9}{12}=6\)