Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 8, DK = 12, ВС = 6. Найдите AD.

По теореме о секущихся:

$$BK \cdot AK = DK \cdot CK$$

Пусть $$AD = x$$, тогда $$AK = AB + BK = BC + CK$$

Выразим CK:

$$CK = \frac{DK \cdot CK}{BK} = \frac{8 \cdot AK}{12} = \frac{2}{3}AK$$

Подставим известные значения:

$$BK \cdot (BK + AB) = DK \cdot (DK + DC)$$

$$8(8+AB) = 12(12+6)$$

$$64+8AB = 12 \cdot 18$$

$$8AB = 216 - 64 = 152$$

$$AB = \frac{152}{8} = 19$$

По теореме о секущихся:

$$BK \cdot AK = CK \cdot DK$$

$$AK = AB + BK = 19 + 8 = 27$$

$$8 \cdot 27 = 12 \cdot CK$$

$$CK = \frac{8 \cdot 27}{12} = 18$$

$$CD = CK - DK = 18 - 12 = 6$$

По теореме Птолемея:

$$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$$

$$19 \cdot 6 + 6 \cdot AD = AC \cdot BD$$

$$6(19+AD)=AC \cdot BD$$

Но мы не можем найти AD, так как не хватает данных об AC и BD.

Рассмотрим подобные треугольники BCK и ADK:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$

$$\frac{6}{AD} = \frac{8}{12}$$

$$AD = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$$

Ответ: 9