Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол CBD опирается на дугу CD, как и угол CAD. Следовательно, угол CBD = угол CAD = 35°.

2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Угол ADC = 180° - угол ABC = 180° - 105° = 75°.

3. В треугольнике BCD, угол BCD = 180° - угол ADC = 180° - 75° = 105°. Угол BDC = 180° - угол CBD - угол BCD = 180° - 35° - 105° = 40°.

4. Угол ABD = угол ABC - угол CBD = 105° - 35° = 70°.

5. Альтернативно, угол ABD = угол ADC - угол BDC = 75° - 40° = 35°. Ошибка в рассуждении. Правильный ответ: Угол ABD = угол ABC - угол CBD = 105° - 35° = 70°.

6. Угол ABD = угол ACD. Угол ACD = угол BCD - угол BCA. Угол BCA = 180 - 105 - 35 = 40. Угол ACD = 105 - 40 = 65. Ошибка.

7. Угол ABD опирается на дугу AD. Угол ACD опирается на дугу AD. Значит, угол ABD = угол ACD.

8. Угол ABC = 105°. Угол ADC = 180° - 105° = 75°.

9. Угол CAD = 35°. Угол CBD = 35° (опираются на дугу CD).

10. Угол ABD = угол ABC - угол CBD = 105° - 35° = 70°.

11. Угол BAC опирается на дугу BC. Угол BDC опирается на дугу BC.

12. Угол BCD = 180° - угол BAD.

13. Угол ABD = угол ABC - угол CBD = 105° - 35° = 70°.

14. Угол ABD = 70°.