Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 74°, угол CAD равен 38°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. Угол ADC + угол ABC = 180°. Следовательно, угол ADC = 180° - 74° = 106°.

Угол ABD и угол ACD опираются на одну дугу AD, значит, \( \angle ABD = \angle ACD \).

Угол CAD и угол CBD опираются на одну дугу CD, значит, \( \angle CAD = \angle CBD = 38° \).

В треугольнике BCD: \( \angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 74° = 106° \).

Сумма углов в треугольнике BCD: \( \angle BDC + \angle CBD + \angle BCD = 180° \).

\( \angle BDC + 38° + 106° = 180° \).

\( \angle BDC = 180° - 144° = 36° \).

Угол BDC и угол BAC опираются на одну дугу BC, значит, \( \angle BDC = \angle BAC = 36° \).

В треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \).

\( 36° + 74° + \angle BCA = 180° \).

\( \angle BCA = 180° - 110° = 70° \).

Угол BCA = угол BCD + угол DCA. В данном случае угол BCA = 70°.

Угол ACD = угол BCA - угол BCD. Этот вариант не подходит, так как угол BCD больше угла BCA.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC = 36°, угол ABC = 74°. Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle ACB = 180° - (36° + 74°) = 180° - 110° = 70° \).

Угол ACB = угол ACD + угол DCB. Здесь угол DCB = 180 - 74 = 106, что больше 70, поэтому этот вариант не подходит.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол ABD и угол ACD опираются на дугу AD. Угол CAD и угол CBD опираются на дугу CD. Угол BAC и угол BDC опираются на дугу BC. Угол ACB и угол ADB опираются на дугу AB.

\( \angle ABC = 74° \). \( \angle ADC = 180° - 74° = 106° \).

\( \angle CAD = 38° \). \( \angle CBD = \angle CAD = 38° \).

В треугольнике BCD: \( \angle BDC + \angle CBD + \angle BCD = 180° \).

\( \angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 74° = 106° \).

\( \angle BDC + 38° + 106° = 180° \).

\( \angle BDC = 180° - 144° = 36° \).

\( \angle BAC = \angle BDC = 36° \).

В треугольнике ABD: \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 36° + 38° = 74° \).

\( \angle ABD + \angle BDA + \angle BAD = 180° \).

\( \angle ABD + 36° + 74° = 180° \).

\( \angle ABD = 180° - 110° = 70° \).

Ответ: 70