Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что < DBC = 34°, ABD=42° и < BDC=52°. Найдите углы четырёхугольника. СДЕЛАТЬ РИСУНО

Решение:

• Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. \(\angle DBC = 34^{\circ}\), \(\angle ABD = 42^{\circ}\), \(\angle BDC = 52^{\circ}\).
• Найти: Углы четырёхугольника ABCD (\(\angle A, \angle B, \angle C, \angle D\)).
• Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°. \(\angle A + \angle C = 180^{\circ}\), \(\angle B + \angle D = 180^{\circ}\).
• Найдём углы:
  • \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 42^{\circ} + 34^{\circ} = 76^{\circ}\).
  • \(\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC\). Нам нужно найти \(\angle ADB\).
  • Связь углов и дуг: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
  • \(\angle ADB = \angle ACB\) (опираются на дугу AB).
  • \(\angle DBC = \angle DAC = 34^{\circ}\) (опираются на дугу DC).
  • \(\angle ABD = \angle ACD = 42^{\circ}\) (опираются на дугу AD).
  • \(\angle BDC = \angle BAC = 52^{\circ}\) (опираются на дугу BC).
  • Угол A: \(\angle A = \angle BAC + \angle DAC = 52^{\circ} + 34^{\circ} = 86^{\circ}\).
  • Угол C: \(\angle C = \angle ACD + \angle ACB\). Нам нужно найти \(\angle ACB\).
  • Угол B: \(\angle B = \angle ABC = 76^{\circ}\).
  • Угол D: \(\angle D = \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC\).
  • Из суммы углов четырёхугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}\).
  • \(86^{\circ} + 76^{\circ} + \angle C + \angle D = 360^{\circ}\)
  • \(162^{\circ} + \angle C + \angle D = 360^{\circ}\)
  • \(\angle C + \angle D = 198^{\circ}\).
  • Используем свойство вписанного четырёхугольника:
  • \(\angle B + \angle D = 180^{\circ}\) -> \(76^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}\) -> \(\angle D = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}\).
  • \(\angle A + \angle C = 180^{\circ}\) -> \(86^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}\) -> \(\angle C = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ}\).
  • Проверим: \(\angle C + \angle D = 94^{\circ} + 104^{\circ} = 198^{\circ}\).
  • Окончательно:
  • \(\angle A = 86^{\circ}\).
  • \(\angle B = 76^{\circ}\).
  • \(\angle C = 94^{\circ}\).
  • \(\angle D = 104^{\circ}\).

Ответ: $$\angle A = 86^{\circ}$$, $$\angle B = 76^{\circ}$$, $$\angle C = 94^{\circ}$$, $$\angle D = 104^{\circ}$$.