Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке Р, BF-40, DF-25, CD=15. Найдите АВ.

Решение:

• Рассмотрим секущиеся хорды. По свойству секущихся хорд, произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей. В нашем случае имеем:

\[BF \cdot FC = DF \cdot FA\] Подставим известные значения: BF = 40, DF = 25, CD = 15.

• Выразим FA как FD + DA, то есть FA = 25 + DA. FC выразим как BC - BF.

Но нам неизвестно BC, поэтому используем подобие треугольников.

• Рассмотрим треугольники \(\triangle FCD\) и \(\triangle FAB\). У них \(\angle F\) общий. \(\angle CDA = \angle BAF\) как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, \(\triangle FCD \sim \triangle FAB\) по двум углам.

Из подобия треугольников следует: \[\frac{FC}{FA} = \frac{CD}{AB} = \frac{FD}{FB}\] Подставим известные значения: \[\frac{FC}{FA} = \frac{15}{AB} = \frac{25}{40}\] Отсюда: \[\frac{15}{AB} = \frac{5}{8}\] \[AB = \frac{15 \cdot 8}{5} = 3 \cdot 8 = 24\]

Ответ: 24