16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке F, BF=12, DF=9, AB=8. Найдите CD. B C F D A Ответ:

1. Вспоминаем теорему о секущих: Если из точки вне окружности проведены две секущие, то произведение внешней части первой секущей на всю секущую равно произведению внешней части второй секущей на всю секущую.
2. Применим теорему к нашему случаю: \[BF \cdot FC = DF \cdot FA\]
3. Выразим FC и FA через известные отрезки:
   • \[FC = BF + BC\]
   • \[FA = DF + DA\]
4. Подставим эти выражения в наше уравнение: \[BF \cdot (BF + BC) = DF \cdot (DF + DA)\]
5. Вспомним, что по условию BF = 12, DF = 9, AB = 8. Нам нужно найти CD. Заметим, что BC = AB, DA = CD (так как ABCD вписанный четырехугольник). Тогда: \[12 \cdot (12 + BC) = 9 \cdot (9 + DA)\] \[12 \cdot (12 + 8) = 9 \cdot (9 + CD)\]
6. Решаем полученное уравнение: \[12 \cdot 20 = 9 \cdot (9 + CD)\] \[240 = 81 + 9 \cdot CD\] \[9 \cdot CD = 240 - 81\] \[9 \cdot CD = 159\] \[CD = \frac{159}{9}\] \[CD = \frac{53}{3}\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему о секущих и аккуратно решил уравнение.

База: Теорема о секущих — мощный инструмент для решения задач с окружностями. Помни её!