Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK = 4, DK = 12, ВС = 21. Найдите AD.

По свойству секущихся, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $$KB \cdot KA = KC \cdot KD$$ Пусть $$AD = x$$. Тогда $$KA = KB + BA$$, $$KD = KC + CD$$. Также, $$KC = KD - CD$$. Подставим известные значения: $$KB = 4$$, $$KD = 12$$, $$BC = 21$$. Заметим, что $$KC \cdot KD = (KB + BC) \cdot (KA + AD)$$.Тогда: $$KB \cdot (KB + BA) = KD \cdot (KD - CD)$$ $$4 \cdot (4 + BA) = 12 \cdot (12 - CD)$$ По теореме о секущихся: $$BK \cdot (BK + AK) = DK \cdot (DK + CK)$$, где AK = AB, CK = DC Подставим известные значения: $$4(4 + AB) = 12(12 + CD)$$ Тогда из подобия треугольников $$\triangle KBC \sim \triangle KDA$$ следует: $$\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{4}{12} = \frac{21}{AD}$$ $$AD = \frac{21 \cdot 12}{4} = 21 \cdot 3 = 63$$ Ответ: 63