16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность (см. рис. 156). Прямые AB и CD пересекаются в точке F, BF = 4, DF = 16, BC = 7. Найдите AD.

Рассмотрим секущие FA и FC окружности. По свойству секущихся, произведения отрезков секущих равны:

FB * FA = FD * FC

Пусть BC = 7, обозначим AD = x.

Тогда FC = FD - CD = 16 - CD, FA = FB + BA = 4 + BA.

Треугольники BCF и ADF подобны по двум углам (∠F - общий, ∠CBF = ∠ADF как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AC).

Из подобия треугольников следует:

BC/AD = BF/DF

7/x = 4/16

7/x = 1/4

x = 7 * 4 = 28

Следовательно, AD = 28.

Ответ: 28