Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдем угол ADC: \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ} \).
2. Вписанный угол ABD опирается на дугу AD. Вписанный угол ACD также опирается на дугу AD. Следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD \).
3. Угол ABC состоит из углов ABD и DBC: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).
4. Угол ADC состоит из углов ADB и BDC: \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \).
5. Угол BDC опирается на дугу BC. Угол BAC также опирается на дугу BC. Следовательно, \( \angle BDC = \angle BAC \).
6. Угол CAD дан равен 81°.
7. Угол BAD равен сумме углов BAC и CAD: \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).
8. Так как четырёхугольник вписан, \( \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \) и \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \).
9. В треугольнике ADC: \( \angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^{\circ} \).
10. Мы знаем \( \angle ADC = 46^{\circ} \) и \( \angle CAD = 81^{\circ} \).
11. \( \angle ACD + 81^{\circ} + 46^{\circ} = 180^{\circ} \)
12. \( \angle ACD + 127^{\circ} = 180^{\circ} \)
13. \( \angle ACD = 180^{\circ} - 127^{\circ} \)
14. \( \angle ACD = 53^{\circ} \)
15. Так как \( \angle ABD = \angle ACD \), то \( \angle ABD = 53^{\circ} \).

Ответ: 53.