Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

\( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \)

\( 54^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ} \)

\( \angle ADC = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \)

Угол ADC состоит из углов ADB и BDC. Нам дан угол CAD, и нам нужно найти угол ABD. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, поэтому \( \angle ABD = \angle ACD \).

Рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \)

\( 41^{\circ} + \angle ACD + 126^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ACD + 167^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ACD = 180^{\circ} - 167^{\circ} = 13^{\circ} \)

Так как \( \angle ABD = \angle ACD \), то \( \angle ABD = 13^{\circ} \).

Ответ: 13