Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 87°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии. Не бойся, всё будет понятно!

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \[ \angle ABC = 87^{\circ} \]
• \[ \angle CAD = 42^{\circ} \]

Найти: \[ \angle ABD \]

Решение:

1. Свойство вписанного четырехугольника: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
2. Находим угол ADC: Так как ABCD — вписанный четырехугольник, то
   \[ \angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ} \]
   \[ \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 87^{\circ} = 93^{\circ} \]
3. Угол ADB: Угол ADB и угол CAD опираются на одну дугу AB. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
4. Находим угол ADB:
   \[ \angle ADB = \angle ACB \]
   Но нам нужно найти
   \[ \angle ABD \].
5. Взглянем на угол ADC: Он состоит из углов ADB и BDC.
   \[ \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 93^{\circ} \]
6. Углы, опирающиеся на одну дугу: Углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD. Значит,
   \[ \angle CBD = \angle CAD = 42^{\circ} \]
7. Угол ABC состоит из углов ABD и CBD:
   \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \]
8. Находим искомый угол ABD:
   \[ \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 87^{\circ} - 42^{\circ} = 45^{\circ} \]

Ответ: 45°