7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 10, DK = 6, BC = 15. Найдите AD. 8. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK = 14, DK = 10, BC = 21. Найдите AD. 9. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 20, DK = 15, BC = 12. Найдите AD

Решение задач на применение теоремы о произведениях длин отрезков пересекающихся хорд и секущих.

Задача 7.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 10, DK = 6, BC = 15. Найдите AD.

Решение:

По теореме о секущих, если из точки K проведены две секущие к окружности, то произведение внешней части секущей на всю секущую постоянно. То есть:

$$KB \cdot KA = KC \cdot KD$$

Аналогично, если ABCD вписан в окружность, то выполняется соотношение:

$$KB \cdot (KB + AB) = KD \cdot (KD + DC)$$

Также, по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (в данном случае секущих):

$$BK \cdot AK = CK \cdot DK$$

Мы знаем, что четырехугольник ABCD вписан в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей.

$$BK \cdot (BK + AB) = DK \cdot (DK + DC)$$

Используем свойство о произведениях отрезков секущих:

$$BK \cdot (BK + AK) = CK \cdot DK$$

Используем теорему о подобии треугольников:

Треугольники BCK и DAK подобны (∠BKC = ∠DKA как вертикальные, ∠CBK = ∠ADK как вписанные, опирающиеся на одну дугу AC).

Значит, выполняется соотношение:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$

Отсюда:

$$AD = \frac{BC \cdot DK}{BK}$$

Подставляем значения:

$$AD = \frac{15 \cdot 6}{10} = \frac{90}{10} = 9$$

Ответ: 9

---

Задача 8.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 14, DK = 10, BC = 21. Найдите AD.

Решение:

Аналогично предыдущей задаче:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$

Отсюда:

$$AD = \frac{BC \cdot DK}{BK}$$

Подставляем значения:

$$AD = \frac{21 \cdot 10}{14} = \frac{210}{14} = 15$$

Ответ: 15

---

Задача 9.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 20, DK = 15, BC = 12. Найдите AD.

Решение:

Аналогично предыдущей задаче:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$

Отсюда:

$$AD = \frac{BC \cdot DK}{BK}$$

Подставляем значения:

$$AD = \frac{12 \cdot 15}{20} = \frac{180}{20} = 9$$

Ответ: 9