Четырёхугольник АBCD задан координатами своих вер- шин: А (-1; 2), B (1;-2), C (2; 0), D(1; 6). Докажите, что ABCD - трапеция, и найдите её площадь.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Проверим параллельность сторон AB и CD.

Чтобы проверить параллельность двух прямых, найдем их угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \[(x_1, y_1)\] и \[(x_2, y_2)\] равен \[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\] Для прямой AB, где A(-1; 2) и B(1; -2): \[k_{AB} = \frac{-2 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2.\] Для прямой CD, где C(2; 0) и D(1; 6): \[k_{CD} = \frac{6 - 0}{1 - 2} = \frac{6}{-1} = -6.\] Так как \(k_{AB}
eq k_{CD}\), то AB и CD не параллельны.

• Шаг 2: Проверим параллельность сторон BC и AD.

Для прямой BC, где B(1; -2) и C(2; 0): \[k_{BC} = \frac{0 - (-2)}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2.\] Для прямой AD, где A(-1; 2) и D(1; 6): \[k_{AD} = \frac{6 - 2}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2.\] Так как \(k_{BC} = k_{AD}\), то BC и AD параллельны. Значит, ABCD - трапеция с основаниями BC и AD.

• Шаг 3: Найдем длины оснований BC и AD.

Длина отрезка между точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.\] Для BC: \[BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.\] Для AD: \[AD = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.\]

• Шаг 4: Найдем высоту трапеции.

Проведем высоту из точки B к прямой AD. Уравнение прямой AD имеет вид \[y = 2x + 4.\] Высота h - это расстояние от точки B(1; -2) до прямой AD: \[h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}},\] где уравнение прямой \[Ax + By + C = 0\] и точка \((x_0, y_0)\). В нашем случае, уравнение прямой AD: \[2x - y + 4 = 0\] и точка B(1; -2). \[h = \frac{|2(1) - (-2) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 2 + 4|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{5}}.\]

• Шаг 5: Найдем площадь трапеции.

Площадь трапеции равна \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12.\]

Ответ: 12