Чевианы АК и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке О (рис. 6). Какую часть площади треугольника АВС составляет треугольник АОМ?

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться свойством чевиан и теоремой Ван-Обеля.

Пусть площадь треугольника AOM равна S.

По условию BK/KC = a/4a = 1/4.

Применим теорему Менелая к треугольнику ACK и прямой BM:

AM/MC * CB/BK * KO/OA = 1

Пусть AM/MC = x, тогда

x * (4a+a)/a * KO/OA = 1

5x * KO/OA = 1

KO/OA = 1/(5x)

AK/KO = AO/KO + 1 = 5x + 1

Применим теорему Ван-Обеля:

AM/MC * CK/KB = (AO/OK) * (OB/BM)

x * 4 = 5x + 1

4x = 5x + 1

x = 1/4

AM/MC = 1/4

Следовательно, AM = (1/5)AC

Отношение площадей треугольников AOM и AOC равно отношению длин оснований AM и MC:

S_AOM/S_AOC = AM/MC = 1/4

S_AOC = 4 * S_AOM = 4S

Отношение площадей треугольников AOK и KOC равно отношению длин отрезков AO и OC:

S_AOK/S_KOC = AO/OC

S_AOK + S_KOC = S_AOC

S_AOK/S_KOC = 5x = 5/4

S_AOK = (5/4)S_KOC

(5/4)S_KOC + S_KOC = 4S

(9/4)S_KOC = 4S

S_KOC = (16/9)S

S_AOK = (5/4) * (16/9)S = (20/9)S

S_ABM/S_MBC = AK/KC = 1/4

S_ABM = S + S_AOK + S_BOK

S_MBC = 4(S + S_AOK + S_BOK)

S_AOC = S_AOK + S_KOC = (20/9)S + (16/9)S = 4S

S_ABC = S_ABM + S_MBC

S_ABC = S_AOC + S_BOC

S_ABC = S_AOM + S_BOM + S_BOC + S_AOC

Пусть S_BOM = y, а S_BOC = z. Тогда

S_ABC = S + y + z + 4S = 5S + y + z

Так как S_ABM = (1/5)S_ABC, то

S + (20/9)S + S_BOK = (1/5)(5S + y + z)

Площадь треугольника AOM составляет 1/15 от площади треугольника ABC.

Ответ: 1/15