Численность наблюдаемой популяции попугаев ара на территории Южной Америки на протяжении многих лет ежегодно увеличивалась в 2 раза. Какова была изначальная численность наблюдаемых птиц, если за 10 лет их насчитывалось 15345 особей?

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию. Известно, что численность попугаев каждый год удваивалась. Это означает, что знаменатель прогрессии \( q = 2 \).

Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \), где \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов, \( a_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — количество членов.

В данной задаче:

• \( S_{10} = 15345 \) (численность через 10 лет, то есть сумма за 10 лет, где каждый год численность умножается на 2, что эквивалентно сумме, если бы мы считали прирост, но здесь речь идет о суммарном численности за 10 лет, что не совсем верно сформулировано, если задача подразумевает рост, то правильно использовать формулу общего члена. Если же 15345 — это конечная численность, то нужно использовать другую формулу.)
• \( q = 2 \) (увеличивалась в 2 раза ежегодно)
• \( n = 10 \) (на протяжении 10 лет)

Предполагаем, что 15345 — это конечная численность попугаев через 10 лет, а не сумма. В таком случае используется формула n-го члена геометрической прогрессии: \( a_n = a_1 × q^{n-1} \).

Если 15345 — это конечная численность, то \( a_{10} = 15345 \).

\( a_{10} = a_1 × q^{10-1} \)

\( 15345 = a_1 × 2^9 \)

\( 15345 = a_1 × 512 \)

\( a_1 = \frac{15345}{512} \approx 29.97 \)

Это число не является целым, что нелогично для популяции. Перечитаем условие: "Какова была изначальная численность наблюдаемых птиц, если за 10 лет их насчитывалось 15345 особей?". Если "насчитывалось" означает общее количество, то это сумма. Проверим, если 15345 — это сумма.

\( S_{10} = a_1 × \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} \)

\( 15345 = a_1 × \frac{1024 - 1}{1} \)

\( 15345 = a_1 × 1023 \)

\( a_1 = \frac{15345}{1023} = 15 \)

Изначальная численность равна 15 особей.

Проверим:

1. Первый год: 15
2. Второй год: 15 * 2 = 30
3. Третий год: 30 * 2 = 60
4. Четвертый год: 60 * 2 = 120
5. Пятый год: 120 * 2 = 240
6. Шестой год: 240 * 2 = 480
7. Седьмой год: 480 * 2 = 960
8. Восьмой год: 960 * 2 = 1920
9. Девятый год: 1920 * 2 = 3840
10. Десятый год: 3840 * 2 = 7680

Сумма: 15 + 30 + 60 + 120 + 240 + 480 + 960 + 1920 + 3840 + 7680 = 15345. Совпадает.

Ответ: 15