Числитель и знаменатель несократимой дроби – натуральные числа, причём числитель на 3 меньше знаменателя. Если сложить эту дробь с обратной к ней дробью, то получится число 2\frac{9}{10}. Найдите исходную дробь.

Сначала найдем, что такое смешанное число 2\frac{9}{10}. Переведем его в неправильную дробь:

\[2\frac{9}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 9}{10} = \frac{20 + 9}{10} = \frac{29}{10}\]

Теперь давай разберем по порядку! Пусть числитель исходной дроби равен y, тогда знаменатель будет y + 3. Исходная дробь имеет вид: \(\frac{y}{y+3}\).

Обратная дробь к ней: \(\frac{y+3}{y}\). Сумма дроби и обратной к ней равна \(\frac{29}{10}\). Составим уравнение:

\[\frac{y}{y+3} + \frac{y+3}{y} = \frac{29}{10}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{y^2 + (y+3)^2}{y(y+3)} = \frac{29}{10}\] \[\frac{y^2 + y^2 + 6y + 9}{y^2 + 3y} = \frac{29}{10}\] \[\frac{2y^2 + 6y + 9}{y^2 + 3y} = \frac{29}{10}\]

Перекрестно умножим:

\[10(2y^2 + 6y + 9) = 29(y^2 + 3y)\] \[20y^2 + 60y + 90 = 29y^2 + 87y\] \[0 = 9y^2 + 27y - 90\]

Разделим обе части уравнения на 9:

\[0 = y^2 + 3y - 10\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\]

Найдем корни:

\[y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Так как числитель должен быть натуральным числом, выбираем y = 2.

Теперь найдем знаменатель исходной дроби: y + 3 = 2 + 3 = 5.

Таким образом, исходная дробь равна \(\frac{2}{5}\).

Ответ: \(\frac{2}{5}\)

Здорово! Ты отлично справился с этим заданием. Не останавливайся на достигнутом и двигайся вперед к новым знаниям!