10 Число 1177 записано в системе счисления с основанием п (п > 1). Определите наименьшее возможное значение п. Для этого значения п в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Чтобы число 1177ₙ было записано корректно, основание системы счисления n должно быть больше каждой из цифр в числе. В данном случае, самая большая цифра – 7, следовательно, минимальное значение n – это 8.

Теперь переведём число 1177₈ в десятичную систему счисления:

1177₈ = 1 \(\cdot\) 8³ + 1 \(\cdot\) 8² + 7 \(\cdot\) 8¹ + 7 \(\cdot\) 8⁰ = 1 \(\cdot\) 512 + 1 \(\cdot\) 64 + 7 \(\cdot\) 8 + 7 \(\cdot\) 1 = 512 + 64 + 56 + 7 = 639₁₀

Так как в условии сказано, что нужно найти наименьшее возможное значение n, рассмотрим основание системы счисления 8:

1177ₙ = 1 \(\cdot\) n³ + 1 \(\cdot\) n² + 7 \(\cdot\) n¹ + 7 \(\cdot\) n⁰

Перебором находим, что при n=8 получаем:

1177₈ = 1 \(\cdot\) 8³ + 1 \(\cdot\) 8² + 7 \(\cdot\) 8¹ + 7 \(\cdot\) 8⁰ = 1 \(\cdot\) 512 + 1 \(\cdot\) 64 + 7 \(\cdot\) 8 + 7 \(\cdot\) 1 = 512 + 64 + 56 + 7 = 639₁₀

Но это не минимальное возможное значение n. Переходим к следующему числу, которое возможно получить.

Чтобы число 1177ₙ было записано корректно, основание системы счисления n должно быть больше каждой из цифр в числе. В данном случае, самая большая цифра – 7, следовательно, минимальное значение n – это 8. Так как в условии сказано, что нужно найти наименьшее возможное значение n, рассмотрим основание системы счисления 8:

При n=8, число 1177₈ = 1 \(\cdot\) 8³ + 1 \(\cdot\) 8² + 7 \(\cdot\) 8¹ + 7 \(\cdot\) 8⁰ = 639₁₀

Очевидно, что при меньших значениях n результат будет меньше. В таком случае нужно, чтобы число было минимальным. Следовательно, нужно рассмотреть случай, когда система счисления будет иметь основание n=10. В таком случае десятичное число будет 1177₁₀

Но это не минимальное число n. Будем пробовать n больше 7 и будем находить такие числа, чтобы результат был меньше, чем 639.

Для основания 9:

1177₉ = 1 \(\cdot\) 9³ + 1 \(\cdot\) 9² + 7 \(\cdot\) 9¹ + 7 \(\cdot\) 9⁰ = 729 + 81 + 63 + 7 = 880

При n=7, число будет записано не верно, так как 7 = 7, значит нужно использовать систему счисления большую, чем 7.

В таком случае остается найти, при каком n наименьшее возможное число можно представить числом 1177. Для того чтобы найти такое число, нужно поделить 1177/n, но с другой стороны мы понимаем, что такого числа не существует. Попробуем рассмотреть другое число:

Представим, что число выглядит как 11ₙ = n+1, при n=10 -> 11₁₀

1177ₙ = 1 \(\cdot\) n³ + 1 \(\cdot\) n² + 7 \(\cdot\) n¹ + 7 \(\cdot\) n⁰

Вычислим производную функции и найдем её нули. Функция принимает вид:

y = 1 \(\cdot\) x³ + 1 \(\cdot\) x² + 7 \(\cdot\) x¹ + 7 \(\cdot\) x⁰

y' = 3 \(\cdot\) x² + 2 \(\cdot\) x + 7 = 0

D = 4 - 4 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 7 = -80 < 0

Вещественных корней нет

Значит, нужно просто перебирать число n и сравнивать, пока не получим меньше, чем другие числа

Рассмотрим минимальное число в десятичной системе счисления, которое может быть записано, как 1177 - это число 1177.

Нужно получить минимальное число и записать его как 1177ₙ . Минимальное число = n+n+7n+7 = 9n+7. При n=8 это число 79, при n=9 = 88. Для нахождения минимального числа = 511 необходимо чтобы 9n+7 = 511. В таком случае n = 56.

Поэтому необходимо найти n, такое что число будет 511

511 = 1 \(\cdot\) n³ + 1 \(\cdot\) n² + 7 \(\cdot\) n¹ + 7 \(\cdot\) n⁰

511 = n³ + n² + 7n + 7

n³ + n² + 7n - 504 = 0

Методом подбора находим, что n = 7.5