Число 3969 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 3969 = x² − y². 1. Сколькими способами это можно сделать?

Разложим разность квадратов на множители: 3969 = (x − y)(x + y). Так как x > y, оба множителя положительны, а их произведение равно 3969.

Разложение числа: 3969 = 3⁴ · 7². У него (4 + 1)(2 + 1) = 15 положительных делителей, то есть 8 пар делителей без учёта порядка. Одна из пар — равные делители 63 · 63; она даёт y = 0, а ноль не является натуральным числом. Остаётся 7 пар с разными делителями. Для каждой такой пары меньший делитель равен x − y, больший — x + y; оба нечётные, поэтому их полусумма и полуразность — натуральные числа.

Ответ: 7 способов.