ЧИСЛО МЕСЯЦ год ΠΗ Похожие THBT 8 e 9 6 10 A AB= 5 COSH=1 BC-? CP 12 13 8 Be

Рассмотрим рисунок и данные к нему.

Дано: cos∠A = 1/4, BC = 9.

Найти: AB = ?

Решение:

По теореме косинусов:

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos∠A $$

Выразим AC через AB и cos∠A:

$$ cos∠A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} $$

Пусть AB = x, тогда:

$$ AC = \frac{x^2 - BC^2}{x \cdot 2 \cdot cos∠A} $$

Подставим известные значения:

$$ 9^2 = x^2 + AC^2 - 2 \cdot x \cdot AC \cdot \frac{1}{4} $$ $$ 81 = x^2 + AC^2 - \frac{1}{2} \cdot x \cdot AC $$

Выразим AC через x и BC:

$$ AC = \frac{x^2 - 81}{x \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{x^2 - 81}{\frac{1}{2}x} = \frac{2(x^2 - 81)}{x} $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 81 = x^2 + (\frac{2(x^2 - 81)}{x})^2 - \frac{1}{2}x \cdot \frac{2(x^2 - 81)}{x} $$ $$ 81 = x^2 + \frac{4(x^2 - 81)^2}{x^2} - (x^2 - 81) $$ $$ 81 = x^2 + \frac{4(x^4 - 162x^2 + 6561)}{x^2} - x^2 + 81 $$ $$ 0 = \frac{4(x^4 - 162x^2 + 6561)}{x^2} $$

Так как дробь равна нулю, то числитель должен быть равен нулю:

$$ 4(x^4 - 162x^2 + 6561) = 0 $$ $$ x^4 - 162x^2 + 6561 = 0 $$

Решим это уравнение как квадратное относительно x^2:

$$ x^2 = t $$ $$ t^2 - 162t + 6561 = 0 $$ $$ D = (-162)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6561 = 26244 - 26244 = 0 $$ $$ t = \frac{162 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{162}{2} = 81 $$

Тогда:

$$ x^2 = 81 $$ $$ x = \pm \sqrt{81} = \pm 9 $$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то:

$$ x = 9 $$

Следовательно, AB = 9.

Ответ: 9