B: I'll come too. I need to buy some new trainers.
Нужно выбрать «need», потому что говорящий выражает необходимость покупки новых кроссовок.
B: Yes, I really must eat more fruit.
Здесь «must» выражает сильную рекомендацию или необходимость, связанную с диетой.
B: They say it might rain later.
«Might» указывает на возможность, а не на уверенность в том, что дождь пойдет.
B: We mustn't be late.
Выбираем «mustn’t», так как имеется в виду запрет опаздывать, поскольку занятие начинается в семь.
A: You don't have to buy tickets. Entrance is free.
Выбираем «don't have to», так как вход бесплатный и нет необходимости покупать билеты.
A: You mustn't enter this room. Didn't you see the sign?
«Mustn't» указывает на строгий запрет входить в комнату, особенно учитывая наличие знака.