1. Is there any sugar in the cupboard? (Вопрос с исчисляемым/неисчисляемым существительным, используется "any" в вопросах).
2. There aren't any apples left. (Отрицательное предложение с исчисляемым существительным, используется "any").
3. I'll have a little ice cream with my pie. (Неисчисляемое существительное "ice cream", поэтому "a little").
4. We haven't got many bananas left. (Исчисляемое существительное "bananas", в отрицательном предложении используется "many").
5. There are a lot of eggs in the fridge. (Множественное число исчисляемого существительного "eggs", "a lot of" используется для обозначения большого количества).
Ответ: 1. any, 2. any, 3. a little, 4. many, 5. a lot of.