The correct answer is "will finish".
Разъяснение: В данном случае требуется выбрать правильную форму глагола "finish" для заполнения пропуска. Фраза "I promise" (Я обещаю) указывает на то, что речь идет о будущем действии, которое говорящий обещает выполнить. Для выражения обещаний или предсказаний часто используется Future Simple (простое будущее время), которое образуется с помощью вспомогательного глагола "will" + инфинитив глагола (в данном случае "finish").
Таким образом, правильный вариант: will finish.