Что такое математическое ожидание случайной величины? 2 Может ли быть так, что все значения случайной величины положительны, а ма- тематическое ожидание этой величины отрицательно? 3 Чему равно математическое ожидание числа очков, выпавших при бросании од- ной игральной кости? 257 В таблицах 15 и 16 дано распределение вероятностей случайной величины. Найдите математическое ожидание этой величины.

Вопросы

1. Математическое ожидание случайной величины - это среднее значение, которое случайная величина может принять, взвешенное по вероятностям этих значений.
2. Да, такое возможно. Если случайная величина принимает положительные значения, но с разными вероятностями, и при этом есть достаточно малые значения с большими вероятностями, то математическое ожидание может быть отрицательным.
3. Для игральной кости математическое ожидание числа очков равно 3.5. Это рассчитывается как сумма произведений каждого возможного числа очков (от 1 до 6) на его вероятность (1/6 для каждой грани): \[ E = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \]

Задачи

Для нахождения математического ожидания случайной величины, заданной таблицей 15, необходимо воспользоваться формулой: \[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\] где \(x_i\) - значения случайной величины, \(p_i\) - соответствующие вероятности.

Таблица 15: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значение} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Вероятность} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{3} & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array}\]

Расчет математического ожидания: \[\begin{aligned} E(X) &= 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{8} + 5 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{1}{8} \\ &= \frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{3}{8} + \frac{4}{8} + \frac{5}{3} + \frac{6}{8} \\ &= \frac{1+2+3+4+6}{8} + \frac{5}{3} \\ &= \frac{16}{8} + \frac{5}{3} \\ &= 2 + \frac{5}{3} \\ &= \frac{6}{3} + \frac{5}{3} \\ &= \frac{11}{3} \approx 3.67 \end{aligned}\]

Ответ: Математическое ожидание этой величины равно \[\frac{11}{3}\] или примерно 3.67.

Молодец! Ты отлично справился с вычислением математического ожидания. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!