Чёрный автомобиль гонится со скоростью 160 км/ч за белым автомобилем, мчащимся со скоростью 120 км/ч. В начальный момент расстояние между ними-100 км. Когда белый автомобиль проехал 80 км, дорогу ему перебежала чёрная кошка. Водитель остановил машину и в нерешительности простоял 20 мин., после чего продолжил движение с прежней скоростью. Через какое время после появления чёрной кошки чёрный автомобиль догонит белый?

Решение:

1. Определим время, за которое белый автомобиль проехал 80 км.

Скорость белого автомобиля: \( v_б = 120 \text{ км/ч} \).

Расстояние, которое проехал белый автомобиль: \( S_б = 80 \text{ км} \).

Время в пути: \( t_1 = \frac{S_б}{v_б} = \frac{80 \text{ км}}{120 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3} \text{ часа} \).

Переведём в минуты: \( t_1 = \frac{2}{3} \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} = 40 \text{ минут} \).

2. Определим, какое расстояние проехал чёрный автомобиль за это время.

Скорость чёрного автомобиля: \( v_ч = 160 \text{ км/ч} \).

Время, за которое белый проехал 80 км, равно 40 минутам. За это время чёрный автомобиль проехал:

\( S_ч = v_ч \times t_1 = 160 \text{ км/ч} \times \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{320}{3} \text{ км} \).

3. Определим расстояние между автомобилями в момент остановки белого автомобиля.

Первоначальное расстояние: \( S_0 = 100 \text{ км} \).

За 40 минут белый автомобиль проехал 80 км, а чёрный — \(\frac{320}{3} \text{ км} \).

Текущее расстояние между ними: \( S_2 = S_0 - S_ч + S_б \). Важно учесть, что чёрный ехал навстречу белому, то есть сокращал расстояние. Белый ехал вперёд. Поэтому, когда белый проехал 80 км, он приблизился к чёрному, а чёрный, проехав \(\frac{320}{3} \text{ км} \) (приближаясь к белому), сократил расстояние.

Расстояние, которое преодолел чёрный автомобиль, приближаясь к белому: \(\frac{320}{3} \text{ км} \).

Расстояние, которое преодолел белый автомобиль: \( 80 \text{ км} \).

В начальный момент расстояние было 100 км. За 40 минут чёрный сократил его на \(\frac{320}{3} \text{ км} \), а белый увеличил на 80 км (относительно своего первоначального положения).

Положение белого автомобиля через 40 минут: \( 80 \text{ км} \) от старта.

Положение чёрного автомобиля через 40 минут: \( 160 \text{ км/ч} \times \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{320}{3} \text{ км} \) от своего старта. Он всё ещё позади белого, потому что начал с расстояния 100 км.

Положение чёрного автомобиля относительно старта белого: \( 100 \text{ км} - \frac{320}{3} \text{ км} = \frac{300 - 320}{3} \text{ км} = -\frac{20}{3} \text{ км} \). Это значит, что чёрный автомобиль уже опередил стартовую точку белого, но всё ещё позади него.

В момент остановки белого автомобиля (через 40 минут после старта):

Белый автомобиль находится на отметке \( 80 \text{ км} \).

Чёрный автомобиль находится на отметке \( 100 \text{ км} - \frac{320}{3} \text{ км} = \frac{300-320}{3} = -\frac{20}{3} \text{ км} \) от старта белого. То есть, он находится позади белого автомобиля на расстоянии:

\( S_{ост} = 80 \text{ км} - (-\frac{20}{3} \text{ км}) = 80 + \frac{20}{3} = \frac{240 + 20}{3} = \frac{260}{3} \text{ км} \).

\( \frac{260}{3} \text{ км} \approx 86.67 \text{ км} \).

4. Определим, сколько времени потребуется чёрному автомобилю, чтобы догнать белый, после остановки.

Белый автомобиль стоял 20 минут (\( \frac{1}{3} \text{ часа} \)). За это время он не двигался.

Чёрный автомобиль также стоял 20 минут (в условии сказано: «Водитель остановил машину и в нерешительности простоял 20 мин., после чего продолжил движение»).

Важно: Условие гласит: «Когда белый автомобиль проехал 80 км, дорогу ему перебежала чёрная кошка. Водитель остановил машину и в нерешительности простоял 20 мин., после чего продолжил движение с прежней скоростью». Это относится к белому автомобилю. Про чёрного сказано: «Чёрный автомобиль гонится со скоростью 160 км/ч...». Подразумевается, что чёрный автомобиль не останавливался, пока белый не остановился.

Корректировка: Текст «Водитель остановил машину и в нерешительности простоял 20 мин.» относится к белому автомобилю. Про чёрный автомобиль сказано, что он «гонится со скоростью 160 км/ч». Следует предположить, что чёрный автомобиль не останавливался, а продолжал движение.

Пересчет расстояния в момент остановки белого (через 40 минут после старта):

Белый: \( S_б = 80 \text{ км} \).

Чёрный: \( S_ч = 160 \text{ км/ч} \times \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{320}{3} \text{ км} \).

Расстояние между ними: \( 80 \text{ км} - \frac{320}{3} \text{ км} = \frac{240 - 320}{3} \text{ км} = -\frac{80}{3} \text{ км} \).

Знак минус означает, что чёрный автомобиль уже опережает белый на \(\frac{80}{3} \text{ км} \) в момент, когда белый остановился.

Теперь белый стоит 20 минут. За это время он не двигается.

Чёрный автомобиль продолжал ехать со скоростью \( 160 \text{ км/ч} \).

За 20 минут (\( \frac{1}{3} \text{ часа} \)) чёрный автомобиль проехал:

\( S_{ч, за 20 мин} = 160 \text{ км/ч} \times \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{160}{3} \text{ км} \).

В момент, когда белый автомобиль остановился, чёрный его опережал на \(\frac{80}{3} \text{ км} \).

Через 20 минут остановки белого, чёрный автомобиль будет на отметке: \( -\frac{80}{3} \text{ км} + \frac{160}{3} \text{ км} = \frac{80}{3} \text{ км} \) от старта белого.

Белый автомобиль всё ещё находится на отметке \( 80 \text{ км} \).

Расстояние между ними, когда белый снова тронулся:

\( 80 \text{ км} - \frac{80}{3} \text{ км} = \frac{240 - 80}{3} = \frac{160}{3} \text{ км} \).

Теперь белый автомобиль продолжает движение со скоростью \( 120 \text{ км/ч} \), а чёрный — со скоростью \( 160 \text{ км/ч} \). Относительная скорость сближения: \( v_{отн} = v_ч - v_б = 160 - 120 = 40 \text{ км/ч} \).

Время, за которое чёрный догонит белый, начиная с момента, когда белый тронулся после остановки:

\( t_2 = \frac{\text{Расстояние между ними}}{\text{Относительная скорость}} = \frac{\frac{160}{3} \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = \frac{160}{3 \times 40} = \frac{160}{120} = \frac{4}{3} \text{ часа} \).

Переведём в минуты: \( t_2 = \frac{4}{3} \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} = 80 \text{ минут} \).

Вопрос: «Через какое время после появления чёрной кошки чёрный автомобиль догонит белый?»

Чёрная кошка появилась, когда белый автомобиль проехал 80 км. Это произошло через 40 минут после старта.

В этот момент белый автомобиль остановился на 20 минут. Чёрный автомобиль продолжил движение.

Время от появления кошки до момента, когда белый снова тронулся: 20 минут (время остановки белого).

Время, которое потребуется чёрному, чтобы догнать белого после того, как белый тронулся: 80 минут.

Общее время от появления кошки до момента, когда чёрный догнал белого: 20 минут (остановка белого) + 80 минут (время погони после старта белого) = 100 минут.

Проверка:

Общее время от старта до момента, когда чёрный догнал белый: 40 мин (до остановки) + 20 мин (остановка белого) + 80 мин (погоня) = 140 минут.

За 140 минут (\( \frac{140}{60} = \frac{7}{3} \text{ часа} \)) чёрный проехал: \( 160 \text{ км/ч} \times \frac{7}{3} \text{ ч} = \frac{1120}{3} \text{ км} \).

За 140 минут белый автомобиль проехал 80 км, стоял 20 минут, и потом ехал \( 140 - 40 - 20 = 80 \text{ минут} = \frac{4}{3} \text{ часа} \).

Расстояние, которое проехал белый после остановки: \( 120 \text{ км/ч} \times \frac{4}{3} \text{ ч} = 160 \text{ км} \).

Общее расстояние, которое проехал белый: \( 80 \text{ км} + 160 \text{ км} = 240 \text{ км} \).

Это не сходится. Надо пересмотреть логику.

Новый подход:

1. Когда кошка появилась (t = 40 мин):

• Белый проехал 80 км.
• Чёрный проехал \( 160 \text{ км/ч} \times \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{320}{3} \text{ км} \).
• Расстояние между ними: \( 80 - \frac{320}{3} = \frac{240 - 320}{3} = -\frac{80}{3} \text{ км} \). Чёрный впереди на \(\frac{80}{3} \text{ км} \).

2. Белый стоит 20 мин (с t = 40 мин до t = 60 мин):

• Белый стоит на отметке 80 км.
• Чёрный за эти 20 минут (\(\frac{1}{3}\) часа) проезжает \( 160 \text{ км/ч} \times \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{160}{3} \text{ км} \).
• К моменту, когда белый трогается (t = 60 мин), чёрный находится на отметке \(-\frac{80}{3} + \frac{160}{3} = \frac{80}{3} \text{ км} \).
• Расстояние между ними в момент старта белого: \( 80 \text{ км} - \frac{80}{3} \text{ км} = \frac{160}{3} \text{ км} \).

3. Чёрный догоняет белого (с t = 60 мин):

• Относительная скорость: \( 160 - 120 = 40 \text{ км/ч} \).
• Расстояние, которое нужно преодолеть: \( \frac{160}{3} \text{ км} \).
• Время погони: \( t_{погони} = \frac{160/3 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = \frac{160}{3 \times 40} = \frac{4}{3} \text{ часа} = 80 \text{ минут} \).

Время от появления кошки до момента, когда чёрный догнал белый:

Появление кошки = 40 минут от старта.

Чёрный догнал белого через 80 минут ПОСЛЕ того, как белый тронулся (то есть через 80 минут после 60 минут от старта).

Общее время от старта = 40 мин (до остановки) + 20 мин (остановка) + 80 мин (погоня) = 140 минут.

Вопрос: «Через какое время после появления чёрной кошки чёрный автомобиль догонит белый?»

Время от появления кошки = 140 мин (общ. время) - 40 мин (до появления кошки) = 100 минут.

Проверка:

Общее время погони = 100 минут = \(\frac{100}{60} = \frac{5}{3}\) часа.

В момент, когда белый тронулся (через 60 мин от старта), он был на отметке 80 км. Чёрный был на отметке \(\frac{80}{3} \text{ км} \).

За \(\frac{4}{3}\) часа (80 минут) после этого:

Белый проедет: \( 120 \text{ км/ч} \times \frac{4}{3} \text{ ч} = 160 \text{ км} \). Его итоговая позиция: \( 80 \text{ км} + 160 \text{ км} = 240 \text{ км} \).

Чёрный проедет: \( 160 \text{ км/ч} \times \frac{4}{3} \text{ ч} = \frac{640}{3} \text{ км} \). Его итоговая позиция: \( \frac{80}{3} \text{ км} + \frac{640}{3} \text{ км} = \frac{720}{3} = 240 \text{ км} \).

Автомобили находятся в одной точке.

Ответ: Через 100 минут после появления чёрной кошки чёрный автомобиль догонит белый.