CLXVIII. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма квадратов этих чисел быть меньше, чем \(\frac{1}{10}\)?

Пусть слагаемых всего \(n\). По неравенству Коши сумма их квадратов не меньше \(\frac{1}{n}\). Поэтому ответ зависит от количества чисел.

Если чисел 10, сумма квадратов не может быть меньше \(\frac{1}{10}\); если чисел меньше 10 — тоже не может. Если чисел не меньше 11, может: например, для 11 чисел, каждое из которых равно \(\frac{1}{11}\), сумма равна 1, а сумма квадратов равна \(\frac{11}{121}=\frac{1}{11}<\frac{1}{10}\).

Ответ: да, если чисел не меньше 11; если их не больше 10 — нет.