1) ..... (tell) you about
Если глагол употребляется после другого глагола, то он может стоять в форме инфинитива с частицей to (to + глагол) или в форме герундия (глагол + -ing). В данном случае, чтобы правильно определить форму глагола, нужно рассмотреть контекст предложения. После глагола writing часто используется инфинитив с to для выражения цели действия.
I am writing to tell you about my recent trip.
2) ..... (see) all the animals
После прилагательных часто используется инфинитив с to, чтобы объяснить, в чем именно проявляется качество, выраженное прилагательным.
It was fantastic to see all the animals
3) ..... (roam) freely.
Герундий используется в качестве подлежащего в предложении. В данном случае, подразумевается действие "roaming" как что-то, что происходит свободно.
Roaming freely.
4) ... (feed) the
После глагола like часто используется герундий (глагол + -ing), чтобы выразить предпочтение или удовольствие от действия.
I especially liked feeding the baby giraffes.
5) ..... (lie) in the
После глаголов чувственного восприятия (see, hear, watch и др.) часто используется герундий, чтобы показать, что действие происходит в процессе.
I saw lions and tigers lying in the sun and elephants.
6) .... (have) a bath.
После некоторых существительных (например, time) часто используется инфинитив с to, чтобы выразить цель или причину.
... (have) having a bath.
7) ..... (take) you there.
После модальных глаголов (will, can, should и др.) обычно используется инфинитив без частицы to.
Next time you come visit, I will take you there.
8) ...... (hear) all your news.
После фразы look forward to обычно используется герундий (глагол + -ing).
I'm looking forward to hearing all your news.
Ответ: 1) to tell 2) to see 3) Roaming 4) feeding 5) lying 6) having 7) take 8) hearing