Complete the justifications for the sequence of statements proving that the line AC is also tangent to this circle. 1. OC = OB 2. \(\triangle\) ABO = \(\triangle\) ACO 3. OB \(\perp\) AB 4. OC \(\perp\) AC 5. AC is tangent to the circle (by the property of vertical angles) (by equality of angles in congruent triangles) (radii of the same circle) (by three sides) (by the property of perpendicular lines) (by leg and hypotenuse)

Анализ задачи:

Нам нужно заполнить пропуски в доказательстве того, что прямая АС является касательной к окружности. Для этого мы будем использовать свойства касательных и треугольников.

Пошаговое решение:

1. 1. OC = OB



Это утверждение верно, потому что OC и OB являются радиусами одной окружности. Радиусы, проведенные в точки окружности, всегда равны.




2. 2. $$\triangle ABO = \triangle ACO$$



Чтобы доказать равенство треугольников, мы можем использовать признаки равенства. Давайте посмотрим, что нам известно:





• OC = OB (из пункта 1, радиусы)


• AO — общая сторона для обоих треугольников.


• AB = AC (по условию задачи).





Таким образом, треугольники ABO и ACO равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).




3. 3. OB $$\perp$$ AB



Это утверждение является следствием того, что прямая AB касается окружности в точке B. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому OB перпендикулярно AB.




4. 4. OC $$\perp$$ AC



Из равенства треугольников (пункт 2) следует равенство их соответствующих углов. Значит, угол $$\\angle OAC$$ равен углу $$\\angle OBA$$. Поскольку $$\\angle OBA$$ — прямой угол ($$90^\circ$$, так как OB $$\perp$$ AB), то и $$\\angle OAC$$ равен $$90^\circ$$. Следовательно, OC перпендикулярно AC.




5. 5. AC касается окружности



Последний шаг — заключение. Мы доказали, что OC $$\perp$$ AC. Это означает, что прямая AC удовлетворяет условию касательной: она перпендикулярна радиусу OC, проведенному в точку C. Следовательно, AC является касательной к окружности.






Итоговый ответ:




Заполненная последовательность утверждений:





1. OC = OB (радиусы одной окружности)


2. $$\triangle ABO = \triangle ACO$$ (по трём сторонам)


3. OB $$\perp$$ AB (по свойству перпендикулярных прямых)


4. OC $$\perp$$ AC (по равенству углов в равных треугольниках)


5. AC касается окружности