Контрольные задания > Complete the math problems from the image.
Вопрос:

Complete the math problems from the image.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задача 1:

На рисунке изображена окружность с центром в точке O. Угол \( \angle MON = 40^{\circ} \). Найдите угол \( \angle MNK \).

Решение:

  1. Угол \( \angle MON \) является центральным углом, опирающимся на дугу MN. Следовательно, градусная мера дуги MN равна \( 40^{\circ} \).
  2. Угол \( \angle MNK \) является вписанным углом, опирающимся на дугу MK. Нам нужно найти градусную меру дуги MK.
  3. Так как \( \angle MON = 40^{\circ} \), то дуга \( wMN = 40^{\circ} \).
  4. Рассмотрим угол \( \angle MON \). Отрезок \( ON \) и \( OM \) являются радиусами, поэтому \( \triangle OMN \) — равнобедренный.
  5. Угол \( \angle ONM = \angle OMN = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
  6. Вписанный угол \( \angle MNK \) опирается на дугу MK. Дуга MK = \( 180^{\circ} - \text{дуга } MN \) (если K находится на большей дуге MN).
  7. Однако, угол \( \angle MNK \) непосредственно не связан с \( \angle MON \) без дополнительной информации о точке K. По изображению, \( wMK = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
  8. Тогда \( \angle MNK = \frac{1}{2} wMK = \frac{1}{2} \times 140^{\circ} = 70^{\circ} \).

Ответ: 70°

Задача 2:

На рисунке изображена окружность с центром в точке O. Угол \( \angle AOB = 60^{\circ} \). Найдите угол \( \angle AKB \).

Решение:

  1. Угол \( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, градусная мера дуги AB равна \( 60^{\circ} \).
  2. Угол \( \angle AKB \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB.
  3. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
  4. \( \angle AKB = \frac{1}{2} \angle AOB \)
  5. \( \angle AKB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ} \)

Ответ: 30°

Задача 3:

На рисунке изображена окружность с центром в точке O. \( OL = 32 \). \( \angle MOL = 90^{\circ} \). Найдите длину хорды ML.

Решение:

  1. \( OL \) и \( OM \) — радиусы окружности, поэтому \( OL = OM = 32 \).
  2. \( \triangle OML \) — прямоугольный, так как \( \angle MOL = 90^{\circ} \).
  3. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( OML \) квадрат гипотенузы \( ML \) равен сумме квадратов катетов:
  4. \( ML^2 = OM^2 + OL^2 \)
  5. \( ML^2 = 32^2 + 32^2 \)
  6. \( ML^2 = 1024 + 1024 = 2048 \)
  7. \( ML = \sqrt{2048} = \sqrt{1024 \times 2} = 32\sqrt{2} \)

Ответ: \( 32\sqrt{2} \)

Задача 4:

На рисунке изображена окружность с центром в точке O. Угол \( \angle MKL = 143^{\circ} \). Найдите угол \( \angle MNK \).

Решение:

  1. Угол \( \angle MKL \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MK.
  2. Градусная мера дуги MK равна удвоенной величине вписанного угла, опирающегося на нее: \( wMK = 2 w \times \angle MNK \).
  3. Угол \( \angle MNK \) — вписанный, опирающийся на дугу MK.
  4. Угол \( \angle MKL = 143^{\circ} \) является вписанным. Однако, на рисунке он выглядит как тупой угол, что не соответствует вписанному углу, опирающемуся на меньшую дугу. Вероятно, \( 143^{\circ} \) — это величина дуги ML, а не вписанного угла.
  5. Предположим, что \( 143^{\circ} \) — это градусная мера дуги ML.
  6. Угол \( \angle MNL \) — вписанный угол, опирающийся на дугу ML.
  7. \( \angle MNL = \frac{1}{2} wML = \frac{1}{2} \times 143^{\circ} = 71.5^{\circ} \).
  8. Теперь рассмотрим угол \( \angle KML \). Он опирается на дугу KL.
  9. Угол \( \angle LNK \) опирается на дугу LK.
  10. Также есть информация, что \( \angle LMK = 77^{\circ} \). Этот угол опирается на дугу LK.
  11. \( wLK = 2 w \times 77^{\circ} = 154^{\circ} \).
  12. Сумма дуг окружности равна \( 360^{\circ} \).
  13. \( wML + wLK + wMK = 360^{\circ} \)
  14. \( 143^{\circ} + 154^{\circ} + wMK = 360^{\circ} \)
  15. \( 297^{\circ} + wMK = 360^{\circ} \)
  16. \( wMK = 360^{\circ} - 297^{\circ} = 63^{\circ} \).
  17. Угол \( \angle MNK \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MK.
  18. \( \angle MNK = \frac{1}{2} wMK = \frac{1}{2} \times 63^{\circ} = 31.5^{\circ} \).
  19. Проверка: \( \angle LMK = 77^{\circ} \) опирается на дугу LK. \( wLK = 2 w \times 77^{\circ} = 154^{\circ} \).
  20. \( \angle MLK = ? \) опирается на дугу MK. \( wMK = 63^{\circ} \). \( \angle MLK = \frac{1}{2} wMK = 31.5^{\circ} \).
  21. \( \angle KNL = ? \) опирается на дугу KL. \( wKL = 154^{\circ} \). \( \angle KNL = \frac{1}{2} wKL = 77^{\circ} \).
  22. \( \angle LMN = ? \) опирается на дугу LN.
  23. \( \angle NKL = ? \) опирается на дугу NL.
  24. \( \angle KNL = 77^{\circ} \).
  25. \( \angle LMK = 77^{\circ} \).
  26. \( \angle KML = 77^{\circ} \).
  27. Пересмотр: На рисунке \( \angle LMK = 77^{\circ} \) и \( \angle MNK = x \). \( \angle LMK \) опирается на дугу LK. \( wLK = 2 w \times 77^{\circ} = 154^{\circ} \).
  28. \( 143^{\circ} \) — это вероятно угол \( \angle KML \) или \( \angle MLK \) или дуга.
  29. Если \( 143^{\circ} \) — это дуга KL, то \( \angle KML = 143^{\circ} / 2 = 71.5^{\circ} \).
  30. Если \( 143^{\circ} \) — это дуга MK, то \( \angle MNK = 143^{\circ} / 2 = 71.5^{\circ} \).
  31. Если \( 143^{\circ} \) — это угол \( \angle KML \), то дуга KL = \( 143^{\circ} \).
  32. В условиях указано \( \angle MKL = 143^{\circ} \). Это вписанный угол, который опирается на дугу ML.
  33. \( wML = 2 w \times \angle MNL \).
  34. Угол \( \angle MKL = 143^{\circ} \) не может быть вписанным углом, опирающимся на меньшую дугу. Это тупой угол.
  35. Он опирается на большую дугу ML. Тогда меньшая дуга ML = \( 360^{\circ} - 143^{\circ} = 217^{\circ} \). Это тоже неверно, так как вписанный угол не может быть больше \( 180^{\circ} \).
  36. Предположим, что \( 143^{\circ} \) — это градусная мера дуги MK.
  37. Тогда \( \angle MNK = x = \frac{1}{2} wMK = \frac{1}{2} w 143^{\circ} = 71.5^{\circ} \).
  38. Проверим совместимость с 77°. Если \( wMK = 143^{\circ} \), то \( wKL \) и \( wLN \) неизвестны. \( \angle LMK = 77^{\circ} \) опирается на дугу LK.
  39. \( wLK = 2 w \times 77^{\circ} = 154^{\circ} \).
  40. \( wMK + wKL + wLN = 360^{\circ} \)
  41. \( 143^{\circ} + 154^{\circ} + wLN = 360^{\circ} \)
  42. \( 297^{\circ} + wLN = 360^{\circ} \)
  43. \( wLN = 63^{\circ} \).
  44. \( \angle LNK = \frac{1}{2} wLK = \frac{1}{2} w 154^{\circ} = 77^{\circ} \).
  45. \( \angle LMK = 77^{\circ} \).
  46. \( \angle MNK = x \) опирается на дугу MK. \( wMK = 143^{\circ} \).
  47. \( x = \frac{1}{2} wMK = \frac{1}{2} w 143^{\circ} = 71.5^{\circ} \).
  48. Заключение: \( 143^{\circ} \) — это градусная мера дуги MK.

Ответ: 71.5°

Задача 6:

На рисунке изображена окружность с центром в точке O. Угол \( \angle KNM = x \). Дуга NK = \( 180^{\circ} \). Дуга MK = \( 124^{\circ} \).

Решение:

  1. Угол \( \angle KNM \) — вписанный, опирающийся на дугу KM.
  2. Градусная мера дуги KM равна \( 124^{\circ} \).
  3. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
  4. \( x = \angle KNM = \frac{1}{2} wKM \)
  5. \( x = \frac{1}{2} w 124^{\circ} \)
  6. \( x = 62^{\circ} \).

Ответ: 62°

Задача 7:

На рисунке изображена окружность с центром в точке O. Угол \( \angle MNQ = 25^{\circ} \). Дуга QN = \( 200^{\circ} \). Найдите угол \( \angle MQN \).

Решение:

  1. Угол \( \angle MNQ \) — вписанный, опирающийся на дугу MQ.
  2. Градусная мера дуги MQ = \( 2 w w \angle MNQ = 2 w w 25^{\circ} = 50^{\circ} \).
  3. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна \( 360^{\circ} \).
  4. \( wMQ + wQN + wNM = 360^{\circ} \)
  5. \( 50^{\circ} + 200^{\circ} + wNM = 360^{\circ} \)
  6. \( 250^{\circ} + wNM = 360^{\circ} \)
  7. \( wNM = 360^{\circ} - 250^{\circ} = 110^{\circ} \).
  8. Угол \( \angle MQN \) — вписанный, опирающийся на дугу MN.
  9. \( \angle MQN = \frac{1}{2} wNM = \frac{1}{2} w 110^{\circ} = 55^{\circ} \).

Ответ: 55°

Задача 8:

На рисунке изображена окружность с центром в точке O. Угол \( \angle NKM = 46^{\circ} \). Угол \( \angle KNL = 112^{\circ} \). Найдите угол \( \angle MNK \).

Решение:

  1. Угол \( \angle NKM \) — вписанный, опирающийся на дугу NM.
  2. Градусная мера дуги NM = \( 2 w w \angle NKM = 2 w w 46^{\circ} = 92^{\circ} \).
  3. Угол \( \angle KNL \) — вписанный, опирающийся на дугу KL.
  4. Градусная мера дуги KL = \( 2 w w \angle KNL = 2 w w 112^{\circ} = 224^{\circ} \).
  5. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна \( 360^{\circ} \).
  6. \( wNM + wKL + wMK = 360^{\circ} \)
  7. \( 92^{\circ} + 224^{\circ} + wMK = 360^{\circ} \)
  8. \( 316^{\circ} + wMK = 360^{\circ} \)
  9. \( wMK = 360^{\circ} - 316^{\circ} = 44^{\circ} \).
  10. Угол \( \angle MNK \) — вписанный, опирающийся на дугу MK.
  11. \( \angle MNK = x = \frac{1}{2} wMK = \frac{1}{2} w 44^{\circ} = 22^{\circ} \).

Ответ: 22°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю