Consider the following inequality: \(\frac{2}{4^{x+1} - 2} - \frac{3(4^{x+2} - 4)}{7(4^{x+1} - 4)} \le -2\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю:

\( \frac{2(7(4^{x+1} - 4)) - 3(4^{x+2} - 4)(4^{x+1} - 2)}{(4^{x+1} - 2) \cdot 7(4^{x+1} - 4)} \le -2 \)

Раскроем скобки и упростим:

\( \frac{14(4^{x+1} - 4) - 3(4^{x+3} - 8 \cdot 4^{x+1} + 16)}{(4^{x+1} - 2) \cdot 7(4^{x+1} - 4)} \le -2 \)

Учитывая, что \( 4^{x+2} = 16 \cdot 4^x \) и \( 4^{x+1} = 4 \cdot 4^x \), сделаем замену \( y = 4^x \).

\( \frac{14(4y - 4) - 3(64y - 8 \cdot 4y + 16)}{(4y - 2) \cdot 7(4y - 4)} \le -2 \)

\( \frac{56y - 56 - 3(64y - 32y + 16)}{7(4y - 2)(4y - 4)} \le -2 \)

\( \frac{56y - 56 - 3(32y + 16)}{7(16y^2 - 16y - 8y + 8)} \le -2 \)

\( \frac{56y - 56 - 96y - 48}{7(16y^2 - 24y + 8)} \le -2 \)

\( \frac{-40y - 104}{112y^2 - 168y + 56} \le -2 \)

\( \frac{-40y - 104}{112y^2 - 168y + 56} + 2 \le 0 \)

\( \frac{-40y - 104 + 2(112y^2 - 168y + 56)}{112y^2 - 168y + 56} \le 0 \)

\( \frac{-40y - 104 + 224y^2 - 336y + 112}{112y^2 - 168y + 56} \le 0 \)

\( \frac{224y^2 - 376y + 8}{112y^2 - 168y + 56} \le 0 \)

Разделим числитель и знаменатель на 8:

\( \frac{28y^2 - 47y + 1}{14y^2 - 21y + 7} \le 0 \)

Разложим знаменатель на множители: \( 7(2y^2 - 3y + 1) = 7(2y - 1)(y - 1) \).

Корни знаменателя: \( y = 1 \) и \( y = 1/2 \).

Найдем корни числителя \( 28y^2 - 47y + 1 = 0 \):

\[ y = \frac{47 \pm \sqrt{(-47)^2 - 4 \cdot 28 \cdot 1}}{2 \cdot 28} = \frac{47 \pm \sqrt{2209 - 112}}{56} = \frac{47 \pm \sqrt{2097}}{56} \]

Примерно \( \sqrt{2097} \approx 45.79 \).

\( y_1 = \frac{47 - 45.79}{56} = \frac{1.21}{56} \approx 0.0216 \)

\( y_2 = \frac{47 + 45.79}{56} = \frac{92.79}{56} \approx 1.657 \)

Учитывая, что \( y = 4^x \), \( y > 0 \).

Рассмотрим интервалы:

• \( y \in (0, \frac{47 - \sqrt{2097}}{56}) \)
• \( y \in (1/2, 1) \)
• \( y \in (\frac{47 + \sqrt{2097}}{56}, \infty) \)

Теперь вернёмся к \( y = 4^x \):

• \( 4^x < \frac{47 - \sqrt{2097}}{56} \) \( \Rightarrow \) \( x < \log_4(\frac{47 - \sqrt{2097}}{56}) \)
• \( 1/2 < 4^x < 1 \) \( \Rightarrow \) \( \log_4(1/2) < x < \log_4(1) \) \( \Rightarrow \) \( -1/2 < x < 0 \)
• \( 4^x > \frac{47 + \sqrt{2097}}{56} \) \( \Rightarrow \) \( x > \log_4(\frac{47 + \sqrt{2097}}{56}) \)

Ответ: \( x \in (-\infty, \log_4(\frac{47 - \sqrt{2097}}{56})) \cup (-1/2, 0) \cup (\log_4(\frac{47 + \sqrt{2097}}{56}), \infty) \).