cos\alpha = \sqrt{\frac{10}{12}}, \frac{\Pi}{2} < \alpha < \Pi, tg - ?

Смотри, тут всё просто: нужно найти тангенс угла, зная косинус и интервал, в котором находится угол.

Пошаговое решение:

1. Находим синус угла \(\alpha\), зная косинус:
   Основное тригонометрическое тождество: \[sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1\]
   Подставляем известное значение косинуса:
   \[sin^2(\alpha) + \left(\sqrt{\frac{10}{12}}\right)^2 = 1\]\[sin^2(\alpha) + \frac{10}{12} = 1\]\[sin^2(\alpha) = 1 - \frac{10}{12}\]\[sin^2(\alpha) = \frac{12}{12} - \frac{10}{12}\]\[sin^2(\alpha) = \frac{2}{12}\]\[sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{2}{12}} = \pm\sqrt{\frac{1}{6}}\]
   Поскольку \(\frac{\Pi}{2} < \alpha < \Pi\), угол находится во второй четверти, где синус положительный:
   \[sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{6}}\]
2. Находим тангенс угла \(\alpha\), зная синус и косинус:
   \[tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}\]
   Подставляем известные значения синуса и косинуса:
   \[tg(\alpha) = \frac{\sqrt{\frac{1}{6}}}{\sqrt{\frac{10}{12}}} = \sqrt{\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{10}} = \sqrt{\frac{12}{60}} = \sqrt{\frac{1}{5}}\]
   Поскольку \(\frac{\Pi}{2} < \alpha < \Pi\), угол находится во второй четверти, где тангенс отрицательный:
   \[tg(\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{5}}\]
   Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\):
   \[tg(\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}\]

Ответ: tg(\alpha) = -\frac{\sqrt{5}}{5}