10) cos²3x – cos 3x cos 5x = 0

Пошаговое решение:

1. Вынесем общий множитель за скобки: \[\cos^2 3x - \cos 3x \cos 5x = 0\] \[\cos 3x (\cos 3x - \cos 5x) = 0\]
2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[\cos 3x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 3x - \cos 5x = 0\]
3. Решим первое уравнение: \[\cos 3x = 0\] \[3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} n, \quad n \in \mathbb{Z}\]
4. Решим второе уравнение: \[\cos 3x - \cos 5x = 0\] Используем формулу разности косинусов: \[-2 \sin \frac{3x + 5x}{2} \sin \frac{3x - 5x}{2} = 0\] \[-2 \sin 4x \sin (-x) = 0\] \[2 \sin 4x \sin x = 0\]
5. Следовательно: \[\sin 4x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = 0\]
6. Решим уравнение \(\sin 4x = 0\): \[4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{4} n, \quad n \in \mathbb{Z}\]
7. Решим уравнение \(\sin x = 0\): \[x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]
8. Объединим решения. Заметим, что решение \(x = \pi n\) уже содержится в \(x = \frac{\pi}{4} n\) (при n = 4k). Решением являются: \[x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} n, \quad x = \frac{\pi}{4} n, \quad n \in \mathbb{Z}\] Можно записать иначе: \[x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} n, \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} n, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]