2 cos²x - √2 cosx < 0

Ответ: \[ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \] или \[ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) < x < 2\pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) \]

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Вынесем общий множитель за скобки: \[2 \cos^2(x) - \sqrt{2} \cos(x) < 0\] \[\cos(x) (2 \cos(x) - \sqrt{2}) < 0\]

Шаг 2: Найдем нули функции

Произведение меньше нуля, когда множители имеют разные знаки. Рассмотрим два случая:

• Случай 1: \[\cos(x) < 0\] и \[2 \cos(x) - \sqrt{2} > 0\]
• Случай 2: \[\cos(x) > 0\] и \[2 \cos(x) - \sqrt{2} < 0\]

Шаг 3: Решим случай 1

• \[\cos(x) < 0 \Rightarrow \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}\]
• \[2 \cos(x) - \sqrt{2} > 0 \Rightarrow \cos(x) > \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Объединяя эти условия, получаем, что нет решений, так как \[\cos(x)\] не может быть одновременно меньше 0 и больше \[\frac{\sqrt{2}}{2}\].

Шаг 4: Решим случай 2

• \[\cos(x) > 0 \Rightarrow 0 < x < \frac{\pi}{2}\] или \[\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\]
• \[2 \cos(x) - \sqrt{2} < 0 \Rightarrow \cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Решениями будут интервалы, где \[\cos(x)\] положителен и меньше \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]. Это выполняется на интервалах:

\[\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) < x < 2\pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})\]

Шаг 5: Упростим полученные значения

Так как \[\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}\] , получаем интервалы:

\[\frac{\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}\]

Ответ: \[ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \] или \[ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) < x < 2\pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) \]