2 cos²x + 5 sinx - 4 = 0

Решим тригонометрическое уравнение.

$$2 \cos^2x + 5 \sin x - 4 = 0$$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$sin^2x + cos^2x = 1$$, откуда $$cos^2x = 1 - sin^2x$$

Подставим в уравнение:

$$2 (1 - sin^2x) + 5 sin x - 4 = 0$$

$$2 - 2 sin^2x + 5 sin x - 4 = 0$$

$$-2 sin^2x + 5 sin x - 2 = 0$$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$2 sin^2x - 5 sin x + 2 = 0$$

Пусть $$t = sin x$$, тогда уравнение принимает вид:

$$2t^2 - 5t + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Вернёмся к замене:

1) $$sin x = 2$$ - нет решений, т.к. $$|sin x| \le 1$$

2) $$sin x = \frac{1}{2}$$

$$x = (-1)^k arcsin \frac{1}{2} + \pi k, k \in Z$$

$$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$$

Ответ: $$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$$