Решение тригонометрического уравнения

Для решения уравнения 2cos²x = 3sinx необходимо выразить cos²x через sinx, используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.

Тогда cos²x = 1 - sin²x, и уравнение примет вид:

2(1 - sin²x) = 3sinx

2 - 2sin²x = 3sinx

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно sinx:

2sin²x + 3sinx - 2 = 0

Обозначим sinx = t, тогда уравнение примет вид:

2t² + 3t - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.

Тогда корни:

t₁ = (-3 + √25) / (2 * 2) = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2

t₂ = (-3 - √25) / (2 * 2) = (-3 - 5) / 4 = -8 / 4 = -2

Вернемся к замене sinx = t.

1) sinx = 1/2

x = (-1)ⁿ * arcsin(1/2) + πn, n ∈ Z

x = (-1)ⁿ * π/6 + πn, n ∈ Z

2) sinx = -2 (не имеет решений, так как |sinx| ≤ 1)

Ответ: x = (-1)ⁿ * π/6 + πn, n ∈ Z