1) 2 cos --√3=0 3) Sun (6x-) = ½ 4) √3ty(x-4)=0 N2 1) 2sinx+sinx-1=0 2 2) 4 sin²x-cosx-1=0 3) 2 sin²x+5sinxcosx-7 cosx=0 ~ろ

Это табличное значение синуса. Вспоминаем, что синус равен \(\frac{1}{2}\) для углов \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\).

Ответ:

\[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Выражаем косинус:

\[\cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Это также табличное значение косинуса. Косинус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) для углов \(\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{\pi}{6}\).

Ответ:

\[\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\]

Умножаем все на 2:

\[x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Аналогично первому уравнению, но аргумент синуса сложнее:

\[6x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad 6x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\]

Решаем оба уравнения:

\[6x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad 6x = \pi + 2\pi k\]

Делим все на 6:

\[x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3} k, \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} k, k \in \mathbb{Z}\]

Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен \(\pi k\):

\[x - \frac{\pi}{6} = \pi k\]

Ответ:

\[x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Замена переменной: \(t = \sin x\). Получаем квадратное уравнение:

\[2t^2 + t - 1 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 1 + 8 = 9\]

\[t = \frac{-1 \pm 3}{4}\]

\[t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = -1\]

Возвращаемся к синусу:

\[\sin x = \frac{1}{2}, \quad \sin x = -1\]

Первое уравнение уже решали (см. пункт 1 в №1). Второе уравнение имеет решение:

\[x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ:

\[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Заменяем \(\sin^2 x\) на \(1 - \cos^2 x\):

\[4(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0\]

\[4 - 4\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\]

\[-4\cos^2 x - \cos x + 3 = 0\]

Умножаем на -1:

\[4\cos^2 x + \cos x - 3 = 0\]

Замена переменной: \(t = \cos x\). Получаем квадратное уравнение:

\[4t^2 + t - 3 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 1 + 48 = 49\]

\[t = \frac{-1 \pm 7}{8}\]

\[t_1 = \frac{3}{4}, \quad t_2 = -1\]

Возвращаемся к косинусу:

\[\cos x = \frac{3}{4}, \quad \cos x = -1\]

Первое уравнение имеет решения:

\[x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Второе уравнение имеет решение:

\[x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ:

\[x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Делим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (учитывая, что \(\cos x
eq 0\)):

\[2 \tan^2 x + 5 \tan x - 7 = 0\]

Замена переменной: \(t = \tan x\). Получаем квадратное уравнение:

\[2t^2 + 5t - 7 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 25 + 56 = 81\]

\[t = \frac{-5 \pm 9}{4}\]

\[t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{7}{2}\]

Возвращаемся к тангенсу:

\[\tan x = 1, \quad \tan x = -\frac{7}{2}\]

Первое уравнение имеет решение:

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Второе уравнение имеет решения:

\[x = \arctan(-\frac{7}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ:

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = \arctan(-\frac{7}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]