cos(2x) + 0.5sin(2x) + cos^2(x) = 0

Решение:

1. Используем формулы двойного угла: \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \) и \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).
2. Подставляем формулы в исходное уравнение: \( (2\cos^2(x) - 1) + 0.5(2\sin(x)\cos(x)) + \cos^2(x) = 0 \).
3. Упрощаем выражение: \( 2\cos^2(x) - 1 + \sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 0 \).
4. Объединяем подобные члены: \( 3\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 1 = 0 \).
5. Заменим \( 1 \) на \( \sin^2(x) + \cos^2(x) \): \( 3\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) - (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 0 \).
6. Упрощаем: \( 2\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) = 0 \).
7. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2(x) \), предполагая, что \( \cos(x) \neq 0 \). Если \( \cos(x) = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) для целых \( k \). В этом случае \( \sin^2(x) = 1 \) и \( -\sin^2(x) = -1 \), что не удовлетворяет уравнению.
8. Получаем квадратное уравнение относительно \( \tan(x) \): \( 2 + \tan(x) - \tan^2(x) = 0 \), или \( \tan^2(x) - \tan(x) - 2 = 0 \).
9. Пусть \( t = \tan(x) \). Тогда \( t^2 - t - 2 = 0 \).
10. Решаем квадратное уравнение для \( t \): \( t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \).
11. Находим значения \( t \): \( t_1 = \frac{1+3}{2} = 2 \) и \( t_2 = \frac{1-3}{2} = -1 \).
12. Следовательно, \( \tan(x) = 2 \) или \( \tan(x) = -1 \).
13. Решения: \( x = \arctan(2) + \pi n \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n \) и \( k \) — произвольные целые числа.

Ответ: \( x = \arctan(2) + \pi n \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).