cos(2x - 7pi/2) = sin(4x + 3pi)

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения уравнения.

Вспомним, что \( \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) \) и \( \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) \).

Применим эти тождества к левой и правой частям уравнения:

1. Левая часть: \( \cos(2x - \frac{7\pi}{2}) \).
   Запишем \( \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} \).
   Тогда \( \cos(2x - 3\pi - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(3\pi - 2x + \frac{\pi}{2})) = \cos(3\pi - 2x + \frac{\pi}{2}) \).
   Так как \( \cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha) \), то \( \cos(3\pi - 2x + \frac{\pi}{2}) = -\cos(2\pi - 2x + \frac{\pi}{2}) \).
   \( \cos(2\pi - 2x + \frac{\pi}{2}) = \cos(-2x + \frac{\pi}{2}) = \cos(2x - \frac{\pi}{2}) \).
   Следовательно, \( \cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = -\cos(2x - \frac{\pi}{2}) \>.
   Используя \( \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) \), получаем: \( -\sin(2x) \).
2. Правая часть: \( \sin(4x + 3\pi) \>.
   Используя \( \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) \), получаем: \( \sin(4x + 3\pi) = \sin(4x + \pi + 2\pi) = \sin(4x + \pi) = -\sin(4x) \).

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ -\sin(2x) = -\sin(4x) \]

Это эквивалентно:

\[ \sin(4x) = \sin(2x) \]

Решаем это уравнение:

\[ 4x = 2x + 2\pi k \quad \text{или} \quad 4x = \pi - 2x + 2\pi k \]

Первый случай:

\[ 4x - 2x = 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k \]

Второй случай:

\[ 4x + 2x = \pi + 2\pi k \implies 6x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \]

Ответ: \( x = \pi k \) или \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).