cos(x/2) - sin(x/2)

Решение:

Для упрощения выражения \( \cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}) \) можно использовать формулу преобразования разности синуса и косинуса в произведение. Однако, данное выражение не является стандартным разностью синуса и косинуса от одного аргумента. Вместо этого, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами для углов половинного аргумента или представить выражение в другом виде.

Способ 1: Представление в виде R*cos(a+b)

Можно привести выражение к виду \( R \cos(\alpha + \beta) \) или \( R \sin(\alpha + \beta) \).

Умножим и разделим на \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \):

\[ \cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\frac{x}{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\frac{x}{2}) \right) \]

Так как \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) и \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), то:

\[ \sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) \cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{\pi}{4}) \sin(\frac{x}{2}) \right) \]

Используя формулу косинуса суммы \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \), получаем:

\[ \sqrt{2} \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \]

Способ 2: Использование формул для половинного угла

Если бы имелось в виду \( \cos x - \sin x \), то применялись бы формулы \( \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \) и \( \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \), где \( t = \tan(\frac{x}{2}) \).

В данном случае, аргумент \( \frac{x}{2} \) вместо \( x \).

Тогда \( \cos(\frac{x}{2}) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \) и \( \sin(\frac{x}{2}) = \frac{2t}{1+t^2} \), где \( t = \tan(\frac{x}{4}) \).

Подставляя, получаем:

\[ \frac{1-t^2}{1+t^2} - \frac{2t}{1+t^2} = \frac{1 - 2t - t^2}{1+t^2} \]

где \( t = \tan(\frac{x}{4}) \).

Способ 3: Комплексные числа (для более продвинутого уровня)

Можно использовать представление \( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \).

\( \cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}) = \text{Re}(e^{i\frac{x}{2}}) - \text{Im}(e^{i\frac{x}{2}}) \)

Это не является стандартным упрощением, но показывает связь с комплексными числами.

Наиболее распространенным и простым методом является первый способ.

Ответ: \( \sqrt{2} \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \).