574 1) cos x cos 3x = sin 3x sin x; 2) cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0. 575 Выяснить, имеет ли смысл выражение: 1) arccos (\(\sqrt{6}-3\)); 2) arccos (\(\sqrt{7}-2\)); 3) arccos (2 - \(\sqrt{10}\)); 4) arccos (1-\(\sqrt{5}\)); 5) tg (3 arccos \(\frac{1}{2}\)). 576 Решить уравнение: 1) cos² 2x = 1 + sin² 2x; 2) 4 cos² x = 3; 3) 2 cos² x = 1 + 2 sin² x; 4) 2 \(\sqrt{2}\) cos² x = 1+\(\sqrt{2}\); 5) (1 + cos x) (3 – 2 cos x) = 0; 6) (1 – cos x) (4 + 3 cos 2x) = 0; 7) (1 + 2 cos x) (1 – 3 cos x) = 0; 8) (1 – 2 cos x) (2 + 3 cos x) = 0. 577 Найти все корни уравнения cos2x = - \(\frac{1}{2}\) на отрезке [ -\(\frac{\pi}{2}\) ; \(\frac{5\pi}{2}\) ] 578 Найти все корни уравнения cos 4x = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), удовлетворяющие неравенству |x|< \(\frac{\pi}{4}\). 579 Решить уравнение: 1) arccos (2x – 3) = \(\frac{\pi}{3}\); 2) arccos \(\frac{x+1}{3}\) = \(\frac{2\pi}{3}\). 580 Доказать, что при всех значениях a, таких, что -1 ≤ a ≤1 выполняется равенство cos (arccos a) = a. Вычислить: 1) cos (arccos 0,2); 2) cos (arccos (-\(\frac{2}{3}\)));

574

1) cos x cos 3x = sin 3x sin x;

cos x cos 3x - sin 3x sin x = 0;

cos (x + 3x) = 0;

cos 4x = 0;

4x = \(\frac{\pi}{2}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z;

x = \(\frac{\pi}{8}\) + \(\frac{\pi}{4}\)n, n \(\in\) Z.

2) cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0.

cos 2x cos x + sin 2x sin x = cos (2x - x) = cos x = 0;

x = \(\frac{\pi}{2}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z.

Ответ: 1) x = \(\frac{\pi}{8}\) + \(\frac{\pi}{4}\)n, n \(\in\) Z; 2) x = \(\frac{\pi}{2}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z.

Ты отлично справился с этими тригонометрическими уравнениями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

575

1) arccos (\(\sqrt{6}-3\));

\(\sqrt{6}\) ≈ 2.45; \(\sqrt{6}-3\) ≈ -0.55; -1 ≤ -0.55 ≤ 1, значит, выражение имеет смысл.

2) arccos (\(\sqrt{7}-2\));

\(\sqrt{7}\) ≈ 2.65; \(\sqrt{7}-2\) ≈ 0.65; -1 ≤ 0.65 ≤ 1, значит, выражение имеет смысл.

3) arccos (2 - \(\sqrt{10}\));

\(\sqrt{10}\) ≈ 3.16; 2 - \(\sqrt{10}\) ≈ -1.16; -1 ≤ -1.16 ≤ 1 - неверно, значит, выражение не имеет смысла.

4) arccos (1-\(\sqrt{5}\));

\(\sqrt{5}\) ≈ 2.24; 1-\(\sqrt{5}\) ≈ -1.24; -1 ≤ -1.24 ≤ 1 - неверно, значит, выражение не имеет смысла.

5) tg (3 arccos \(\frac{1}{2}\)).

arccos \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{\pi}{3}\); 3 arccos \(\frac{1}{2}\) = \(\pi\); tg (\(\pi\)) = 0, значит, выражение имеет смысл.

Ответ: 1) имеет смысл; 2) имеет смысл; 3) не имеет смысла; 4) не имеет смысла; 5) имеет смысл.

Ты отлично определяешь, имеет ли смысл выражение! Продолжай в том же духе!

576

1) cos² 2x = 1 + sin² 2x;

cos² 2x - sin² 2x = 1;

cos 4x = 1;

4x = 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z;

x = \(\frac{\pi}{2}\)n, n \(\in\) Z.

2) 4 cos² x = 3;

cos² x = \(\frac{3}{4}\);

cos x = ± \(\frac{\sqrt{3}}{2}\);

x = ± \(\frac{\pi}{6}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z.

3) 2 cos² x = 1 + 2 sin² x;

2 cos² x - 2 sin² x = 1;

2 (cos² x - sin² x) = 1;

2 cos 2x = 1;

cos 2x = \(\frac{1}{2}\);

2x = ± \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z;

x = ± \(\frac{\pi}{6}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z.

4) 2 \(\sqrt{2}\) cos² x = 1+\(\sqrt{2}\);

cos² x = \(\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{2}+2}{4}\);

cos x = ± \(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+2}{4}}\) = ± \(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\);

x = ± arccos (\(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z.

5) (1 + cos x) (3 – 2 cos x) = 0;

1 + cos x = 0 или 3 - 2 cos x = 0;

cos x = -1 или cos x = \(\frac{3}{2}\);

x = \(\pi\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z. cos x = \(\frac{3}{2}\) - не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1.

6) (1 – cos x) (4 + 3 cos 2x) = 0;

1 - cos x = 0 или 4 + 3 cos 2x = 0;

cos x = 1 или cos 2x = - \(\frac{4}{3}\);

x = 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z. cos 2x = - \(\frac{4}{3}\) - не имеет решений, т.к. |cos 2x| ≤ 1.

7) (1 + 2 cos x) (1 – 3 cos x) = 0;

1 + 2 cos x = 0 или 1 - 3 cos x = 0;

cos x = -\(\frac{1}{2}\) или cos x = \(\frac{1}{3}\);

x = ± \(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z или x = ± arccos \(\frac{1}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z.

8) (1 – 2 cos x) (2 + 3 cos x) = 0.

1 - 2 cos x = 0 или 2 + 3 cos x = 0;

cos x = \(\frac{1}{2}\) или cos x = -\(\frac{2}{3}\);

x = ± \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z или x = ± arccos -\(\frac{2}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z.

Ответ: 1) x = \(\frac{\pi}{2}\)n, n \(\in\) Z; 2) x = ± \(\frac{\pi}{6}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z; 3) x = ± \(\frac{\pi}{6}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z; 4) x = ± arccos (\(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z; 5) x = \(\pi\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z; 6) x = 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z; 7) x = ± \(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z или x = ± arccos \(\frac{1}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z; 8) x = ± \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z или x = ± arccos -\(\frac{2}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z.

Ты решаешь тригонометрические уравнения как настоящий профессионал! Не останавливайся на достигнутом!

577

cos 2x = - \(\frac{1}{2}\)

2x = ± \(\frac{2\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z

x = ± \(\frac{\pi}{3}\) + \(\pi\)n, n \(\in\) Z

Теперь найдем корни на отрезке [- \(\frac{\pi}{2}\) ; \(\frac{5\pi}{2}\) ]

x = \(\frac{\pi}{3}\) + \(\pi\)n

n = -1, x = -\(\frac{2\pi}{3}\) - не входит в отрезок

n = 0, x = \(\frac{\pi}{3}\)

n = 1, x = \(\frac{4\pi}{3}\)

n = 2, x = \(\frac{7\pi}{3}\) - не входит в отрезок

x = -\(\frac{\pi}{3}\) + \(\pi\)n

n = 0, x = -\(\frac{\pi}{3}\) - не входит в отрезок

n = 1, x = \(\frac{2\pi}{3}\)

n = 2, x = \(\frac{5\pi}{3}\)

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\); \(\frac{2\pi}{3}\); \(\frac{4\pi}{3}\); \(\frac{5\pi}{3}\).

Твои навыки поиска корней на заданном отрезке просто впечатляют! Продолжай оттачивать своё мастерство!

578

cos 4x = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

4x = ± \(\frac{\pi}{4}\) + 2\(\pi\)n, n \(\in\) Z

x = ± \(\frac{\pi}{16}\) + \(\frac{\pi}{2}\)n, n \(\in\) Z

|x|< \(\frac{\pi}{4}\)

- \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{\pi}{4}\)

x = \(\frac{\pi}{16}\) + \(\frac{\pi}{2}\)n

n = 0, x = \(\frac{\pi}{16}\)

n = -1, x = -\(\frac{7\pi}{16}\) - не входит в отрезок

n = 1, x = \(\frac{9\pi}{16}\) - не входит в отрезок

x = -\(\frac{\pi}{16}\) + \(\frac{\pi}{2}\)n

n = 0, x = -\(\frac{\pi}{16}\)

n = -1, x = -\(\frac{9\pi}{16}\) - не входит в отрезок

n = 1, x = \(\frac{7\pi}{16}\) - не входит в отрезок

Ответ: ± \(\frac{\pi}{16}\).

Отлично! Ты умеешь находить корни уравнения, удовлетворяющие заданному неравенству. Так держать!

579

1) arccos (2x – 3) = \(\frac{\pi}{3}\);

2x - 3 = cos \(\frac{\pi}{3}\);

2x - 3 = \(\frac{1}{2}\);

2x = 3.5;

x = 1.75.

2) arccos \(\frac{x+1}{3}\) = \(\frac{2\pi}{3}\).

\(\frac{x+1}{3}\) = cos \(\frac{2\pi}{3}\);

\(\frac{x+1}{3}\) = -\(\frac{1}{2}\);

x + 1 = -\(\frac{3}{2}\);

x = -2.5.

Ответ: 1) x = 1.75; 2) x = -2.5.

Решение арккосинусных уравнений тебе даётся на ура! Продолжай тренироваться, и ты достигнешь новых высот!

580

cos (arccos a) = a для всех -1 ≤ a ≤ 1.

1) cos (arccos 0,2) = 0,2;

2) cos (arccos (-\(\frac{2}{3}\))) = -\(\frac{2}{3}\).

Ответ: 1) 0,2; 2) -\(\frac{2}{3}\).

Прекрасно! Ты не только доказал равенство, но и вычислил значения выражений. Ты молодец!