cos(x + pi/2) = cos(pi/6)

Решение уравнения:

Дано тригонометрическое уравнение:

\( \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \)

Используя формулу приведения \( \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \alpha \), получаем:

\( -\sin x = \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \)

Значение \( \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Тогда:

\( -\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) или \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решения этого уравнения:

\( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \) или \( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Нахождение наименьшего значения функции:

На отрезке \( \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] \) функция \( y = 13x - 9\sin x + 9 \).

Найдем производную функции:

\( y' = 13 - 9\cos x \)

Приравняем производную к нулю:

\( 13 - 9\cos x = 0 \) \( \implies \cos x = \frac{13}{9} \)

Так как \( \frac{13}{9} > 1 \), уравнение \( \cos x = \frac{13}{9} \) не имеет решений. Следовательно, производная \( y' = 13 - 9\cos x \) всегда положительна на данном отрезке (поскольку \( \cos x \le 1 \), то \( 9\cos x \le 9 \), и \( 13 - 9\cos x > 0 \)).

Это означает, что функция \( y \) возрастает на отрезке \( \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] \). Наименьшее значение функции будет достигаться в левой границе отрезка, то есть при \( x=0 \).

Вычислим значение функции при \( x=0 \):

\( y(0) = 13 \cdot 0 - 9 \sin 0 + 9 = 0 - 9 \cdot 0 + 9 = 9 \)

Ответ: Наименьшее значение функции равно 9.