3 cos 2x sin2xdx (3x2) sin 2x dx

Решение первого интеграла:

\[\int \sqrt[3]{\cos 2x} \sin 2x dx\]

Пусть \(u = \cos 2x\), тогда \(du = -2 \sin 2x dx\). Значит, \(\sin 2x dx = -\frac{1}{2} du\).

Подставляем в интеграл:

\[\int \sqrt[3]{\cos 2x} \sin 2x dx = \int \sqrt[3]{u} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} du\]

Интегрируем:

\[-\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = -\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C\]

Возвращаемся к исходной переменной:

\[-\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C = -\frac{3}{8} (\cos 2x)^{\frac{4}{3}} + C\]

Решение второго интеграла:

\[\int (3x - 2) \sin 2x dx\]

Применим интегрирование по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\).

Пусть \(u = 3x - 2\), тогда \(du = 3 dx\). Пусть \(dv = \sin 2x dx\), тогда \(v = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x\).

Подставляем в формулу:

\[\int (3x - 2) \sin 2x dx = (3x - 2) \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) \cdot 3 dx = -\frac{1}{2} (3x - 2) \cos 2x + \frac{3}{2} \int \cos 2x dx\]

Интегрируем:

\[-\frac{1}{2} (3x - 2) \cos 2x + \frac{3}{2} \int \cos 2x dx = -\frac{1}{2} (3x - 2) \cos 2x + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C = -\frac{1}{2} (3x - 2) \cos 2x + \frac{3}{4} \sin 2x + C\]

Упрощаем:

\[-\frac{1}{2} (3x - 2) \cos 2x + \frac{3}{4} \sin 2x + C = -\frac{3}{2} x \cos 2x + \cos 2x + \frac{3}{4} \sin 2x + C\]