5)cosx<1+cos2x

Для решения данного неравенства, необходимо воспользоваться тригонометрическими формулами и преобразованиями.

Преобразуем неравенство, используя формулу двойного угла для косинуса: $$cos2x = 2cos^2x - 1$$

Исходное неравенство:

$$cosx < 1 + cos2x$$

Подставляем формулу двойного угла:

$$cosx < 1 + 2cos^2x - 1$$

$$cosx < 2cos^2x$$

Переносим все в одну сторону:

$$0 < 2cos^2x - cosx$$

Выносим $$cosx$$ за скобки:

$$0 < cosx(2cosx - 1)$$

Теперь у нас есть два случая:

1) $$cosx > 0$$ и $$(2cosx - 1) > 0$$

2) $$cosx < 0$$ и $$(2cosx - 1) < 0$$

Рассмотрим первый случай:

$$cosx > 0$$

$$2cosx - 1 > 0 \\ cosx > \frac{1}{2}$$

Объединяя эти два условия, получаем:

$$cosx > \frac{1}{2}$$

Решением этого неравенства является:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$k$$ - целое число.

Рассмотрим второй случай:

$$cosx < 0$$

$$2cosx - 1 < 0 \\ cosx < \frac{1}{2}$$

Объединяя эти два условия, получаем:

$$cosx < 0$$

Решением этого неравенства является:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k$$ - целое число.

Объединяем оба решения:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$ или $$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k$$ - целое число.

Ответ: $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$ или $$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k$$ - целое число.