CP 1) yn=3n-1. S3-? 2n 2) 125+25+5+1+....+ Sn-? 3) lim (7 -2)(6-3) x→∞x⁶x¹⁰ 4) lim X+1 x→∞X²+7x+6 5) lim 3+X x→-3 X²-9

1) Вычисление S₃ для заданной последовательности

Для последовательности yₙ = (3n - 1) / (2n) найдем S₃, что означает сумму первых трех членов последовательности.

• Шаг 1: Находим первый член (y₁):

y₁ = (3(1) - 1) / (2(1)) = 2 / 2 = 1

• Шаг 2: Находим второй член (y₂):

y₂ = (3(2) - 1) / (2(2)) = 5 / 4

• Шаг 3: Находим третий член (y₃):

y₃ = (3(3) - 1) / (2(3)) = 8 / 6 = 4 / 3

• Шаг 4: Вычисляем S₃:

S₃ = y₁ + y₂ + y₃ = 1 + 5/4 + 4/3 = 12/12 + 15/12 + 16/12 = 43/12

Ответ: S₃ = 43/12

2) Нахождение суммы бесконечной геометрической прогрессии

Задана геометрическая прогрессия: 125 + 25 + 5 + 1 + ...

• Шаг 1: Определяем первый член (a) и знаменатель (r):

a = 125, r = 25 / 125 = 1 / 5

• Шаг 2: Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, если |r| < 1:

S = a / (1 - r) = 125 / (1 - 1/5) = 125 / (4/5) = 125 * 5 / 4 = 625 / 4

Ответ: S = 625/4

3) Вычисление предела

Вычислим предел: lim (x→∞) (7/x⁶ - 2) * (6/x¹⁰ - 3)

• Шаг 1: Анализируем поведение каждого множителя при x → ∞:

lim (x→∞) (7/x⁶ - 2) = -2, так как 7/x⁶ стремится к 0

lim (x→∞) (6/x¹⁰ - 3) = -3, так как 6/x¹⁰ стремится к 0

• Шаг 2: Перемножаем пределы:

(-2) * (-3) = 6

Ответ: 6

4) Вычисление предела

Вычислим предел: lim (x→∞) (x + 1) / (x² + 7x + 6)

• Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на x² (наивысшая степень в знаменателе):

lim (x→∞) (x/x² + 1/x²) / (x²/x² + 7x/x² + 6/x²) = lim (x→∞) (1/x + 1/x²) / (1 + 7/x + 6/x²)

• Шаг 2: Анализируем поведение каждого члена при x → ∞:

1/x → 0, 1/x² → 0, 7/x → 0, 6/x² → 0

• Шаг 3: Вычисляем предел:

(0 + 0) / (1 + 0 + 0) = 0 / 1 = 0

Ответ: 0

5) Вычисление предела

Вычислим предел: lim (x→-3) (3 + x) / (x² - 9)

• Шаг 1: Разложим знаменатель:

x² - 9 = (x + 3)(x - 3)

• Шаг 2: Упростим выражение:

lim (x→-3) (3 + x) / ((x + 3)(x - 3)) = lim (x→-3) 1 / (x - 3)

• Шаг 3: Подставим x = -3:

1 / (-3 - 3) = 1 / (-6) = -1/6

Ответ: -1/6