Д. 48. Небольшой шарик массой <i>m</i>, подвешенный на нити длиной <i>l</i>, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси. Нить образует с осью вращения угол α. Сделайте рисунок и определите центростремительную силу и силу натяжения нити. С какой частотой осуществляется вращение? Определите линейную скорость шарика.

Рисунок (схематический):

Пусть вращение равномерное, а сопротивлением воздуха можно пренебречь. Радиус окружности движения шарика равен проекции нити на горизонтальную плоскость:

\(r=l\sin\alpha\).

1. По вертикали ускорения нет, поэтому вертикальная составляющая натяжения уравновешивает тяжесть: \(T\cos\alpha=mg\). Отсюда \(T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}\).

2. Горизонтальная составляющая натяжения является центростремительной силой: \(F_{\text{цс}}=T\sin\alpha\). Следовательно, \(F_{\text{цс}}=mg\tan\alpha\).

3. Из \(F_{\text{цс}}=mv^2/r\) находим линейную скорость: \(v=\sqrt{gr\tan\alpha}=\sqrt{gl\sin\alpha\tan\alpha}\).

4. Частота вращения равна \(f=\dfrac{v}{2\pi r}\). Подставляя радиус и скорость, получаем \(f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{l\cos\alpha}}\).

Ответ: \(F_{\text{цс}}=mg\tan\alpha\), \(T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}\), \(f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{l\cos\alpha}}\), \(v=\sqrt{gl\sin\alpha\tan\alpha}\).