д) $\dfrac{(a+b-1)^{-2}+(a-b+1)^{-2}}{2(a+b)(a^2-(b-1)^2)^{-2}}:\left(\dfrac{1}{a^{-2}}+\dfrac{1}{(b-1)^{-2}}\right)$;

Question

Вопрос: $Фото задания: д) $\dfrac{(a+b-1)^{-2}+(a-b+1)^{-2}}{2(a+b)(a^2-(b-1)^2)^{-2}}:\left(\dfrac{1}{a^{-2}}+\dfrac{1}{(b-1)^{-2}}\right)$;$ Фото задания

д) $\dfrac{(a+b-1)^{-2}+(a-b+1)^{-2}}{2(a+b)(a^2-(b-1)^2)^{-2}}:\left(\dfrac{1}{a^{-2}}+\dfrac{1}{(b-1)^{-2}}\right)$;

Accepted Answer

Обозначим $x=a+b-1$, $y=a-b+1$. Тогда $x+y=2a$, $x-y=2(b-1)$, а $a^2-(b-1)^2=xy$.

Первая дробь упрощается так:

\[\frac{x^{-2}+y^{-2}}{2(a+b)(xy)^{-2}}=\frac{(x^2+y^2)/(x^2y^2)}{2(a+b)/(x^2y^2)}=\frac{x^2+y^2}{2(a+b)}.\]

В скобках $\dfrac{1}{a^{-2}}+\dfrac{1}{(b-1)^{-2}}=a^2+(b-1)^2$. Кроме того, $x^2+y^2=2\bigl(a^2+(b-1)^2\bigr)$.

Поэтому исходное выражение равно \[\frac{x^2+y^2}{2(a+b)\bigl(a^2+(b-1)^2\bigr)}=\frac{1}{a+b}.\]

Ответ: $\dfrac{1}{a+b}$, при значениях переменных, для которых исходное выражение определено.

д) \(\dfrac{(a+b-1)^{-2}+(a-b+1)^{-2}}{2(a+b)(a^2-(b-1)^2)^{-2}}:\left(\dfrac{1}{a^{-2}}+\dfrac{1}{(b-1)^{-2}}\right)\);

Ответ: