Д. Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. 72. На рисунке CE = 2CA, CB = CD, SCDE = 50. Найдите SABC. Решение. 1) В треугольниках ABC и CDE ∠ACB = ∠ (как ___________).

Дано:

• Треугольники ABC и CDE.
• CE = 2CA
• CB = CD
• Площадь треугольника CDE (S_CDE) = 50.

Найти:

• Площадь треугольника ABC (S_ABC).

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDE.
   Углы ∠ACB и ∠DCE являются вертикальными. Вертикальные углы всегда равны.
2. Признак подобия треугольников.
   Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. У нас есть равенство двух углов:
   ∠ACB = ∠DCE (как вертикальные)
   ∠CAB = ∠CED (по условию, если мы предположим, что это второй признак подобия, иначе задача не решается)
   Следовательно, ▵ABC ~ ▵EDC (по двум углам).
3. Отношение площадей подобных треугольников.
   Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон.
   &fracS_ABCS_EDC = (&Vravnye storony budut ravnye ugly)^2
   &fracS_ABCS_EDC = (&Vravnye storony budut ravnye ugly)^2
4. Подставляем известные значения:
   По условию CE = 2CA, значит, CA = &Vravnye storony budut ravnye ugly
   CB = CD, значит, CD = CB.
   Соответственные стороны: CA к CE, CB к CD.
   &fracS_ABCS_CDE = (&Vravnye storony budut ravnye ugly&Vravnye storony budut ravnye ugly)^2 = (&Vravnye storony budut ravnye ugly&Vravnye storony budut ravnye ugly)^2
   &fracS_ABC{50} = (&Vravnye storony budut ravnye ugly&Vravnye storony budut ravnye ugly)^2 = (&Vravnye storony budut ravnye ugly&Vravnye storony budut ravnye ugly)^2
5. Найдем S_ABC:
   &fracS_ABC{50} = (&Vravnye storony budut ravnye ugly&Vravnye storony budut ravnye ugly)^2 = (12)^2 = 4
6. S_ABC = 50 &Vravnye storony budut ravnye ugly &Vravnye storony budut ravnye ugly
   &fracS_ABC{50} = 4
7. S_ABC = 4 &Vravnye storony budut ravnye ugly = 200

Ответ:

• ∠ACB = ∠DCE (как вертикальные).
• S_ABC = 200.