д) Точки P, Q, R и T на рисунке 85 — середины сторон четырёхугольника ABCD. Докажите, что четырёхугольник PQRT — параллелограмм.

Рассмотрим диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD.

1. В треугольнике ABC точки P и Q — середины AB и BC. Поэтому PQ — средняя линия: PQ ∥ AC.
2. В треугольнике ADC точки T и R — середины AD и DC. Поэтому TR — средняя линия: TR ∥ AC. Следовательно, PQ ∥ TR.
3. В треугольнике BCD точки Q и R — середины BC и CD. Поэтому QR — средняя линия: QR ∥ BD.
4. В треугольнике BAD точки P и T — середины BA и AD. Поэтому PT — средняя линия: PT ∥ BD. Следовательно, QR ∥ PT.

У четырёхугольника PQRT обе пары противоположных сторон параллельны, значит, PQRT — параллелограмм.

Ответ: PQRT — параллелограмм.