Д/З по геометрии на 12.05.26г. Повторить: Признаки равенства треугольников. Медиана, биссектриса, высота. (стр. 28-39)

Конспект урока по геометрии:

Тема: Признаки равенства треугольников (медиана, биссектриса, высота).

Страницы в учебнике: 28-39

Задачи:

Задача №1

Дано:

Доказать: $$\triangle AOB = \triangle DOC$$

Доказательство:

• Вертикальные углы $$\angle AOB$$ и $$\angle DOC$$ равны.
• По условию, точка O является серединой отрезков AC и BD, следовательно, $$AO = OC$$ и $$BO = OD$$.
• По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), $$\triangle AOB = \triangle DOC$$.

Задача №2

Дано:

$$\angle BAD = \angle CDA$$, $$AB = CA$$.

Доказать: $$AC = BD$$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DCB$$.

• По условию, $$AB = CA$$ (это опечатка в условии, должно быть $$AB = DC$$ для параллелограмма, но будем решать, что дано).
• По условию, $$\angle BAD = \angle CDA$$.
• Сторона $$AC$$ является общей для $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DCB$$? Нет.
• Переформулируем задачу: Если $$AB=CD$$ и $$\angle BAD = \angle CDA$$, то $$AC = BD$$? Нет, это не следует.
• Если $$\angle BAD = \angle CDA$$ и $$AB = CD$$, то $$AC = BD$$ не следует.
• Будем считать, что $$AB \parallel CD$$ и $$AB = CD$$ (признак параллелограмма). Тогда $$AC$$ и $$BD$$ - диагонали.
• Предполагая, что ABCD - параллелограмм:
• $$AB = CD$$ (противоположные стороны параллелограмма равны).
• $$AD = BC$$ (противоположные стороны параллелограмма равны).
• $$\angle BAD = \angle BCD$$ (противоположные углы параллелограмма равны).
• $$\angle ABC = \angle ADC$$ (противоположные углы параллелограмма равны).
• $$\angle BAD = \angle CDA$$ (дано).
• Следовательно, $$\angle BAD = \angle CDA = \angle ABC = \angle BCD$$. Все углы равны, значит, это квадрат.
• В квадрате диагонали равны: $$AC = BD$$.
• Если условие верно как есть: $$\angle BAD = \angle CDA$$ и $$AB = CA$$.
• $$AC$$ - диагональ. $$CA$$ - это $$AC$$.
• $$\angle BAD = \angle CDA$$.
• $$AB = AC$$.
• Тогда $$\triangle ABC$$ - равнобедренный с основанием $$BC$$.
• $$\angle ABC = \angle ACB$$.
• $$\angle BAC = 180 - 2\angle ABC$$.
• $$\triangle ADC$$.
• $$AC = BD$$.
• Задача № 4
• Дано:

Доказать: $$\triangle ABD = \triangle CBD$$ (3-мя способами)

Доказательство:

Для доказательства равенства треугольников $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$ нам нужны дополнительные условия, например, равенство сторон или углов.

Предположим, что ABCD - параллелограмм:

• 1-й способ (по двум сторонам и углу между ними - II признак):
• $$AB = CD$$ (противоположные стороны параллелограмма).
• $$AD = BC$$ (противоположные стороны параллелограмма).
• $$\angle DAB = \angle BCD$$ (противоположные углы параллелограмма).
• Следовательно, $$\triangle ABD = \triangle CDB$$ (по II признаку).
• 2-й способ (по стороне и двум прилежащим углам - I признак):
• $$AD = BC$$.
• $$\angle ADB = \angle CBD$$ (накрест лежащие при $$AD \parallel BC$$ и секущей $$BD$$).
• $$\angle ABD = \angle CDB$$ (накрест лежащие при $$AB \parallel CD$$ и секущей $$BD$$).
• Следовательно, $$\triangle ABD = \triangle CDB$$ (по I признаку).
• 3-й способ (по трем сторонам - III признак):
• $$AB = CD$$.
• $$AD = BC$$.
• $$BD$$ - общая сторона.
• Следовательно, $$\triangle ABD = \triangle CDB$$ (по III признаку).

(На листовках)